【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.4 6.4.2 用样本估计总体的离散程度 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

6.4.2　用样本估计总体的离散程度 学习任务 核心素养 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(重点) 2．理解离散程度参数的统计含义．(重点、难点) 1．通过对标准差、方差、极差概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用标准差、方差、极差估计总体的离散程度，培养数据分析素养． 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否做出选择？ 知识点　极差、方差、标准差 1．极差 (1)定义：将一组数据中的_____与_____统称为极值，将_____与_____之差称为极差，也称全距，用_____表示． (2)极差的意义 极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，但它易受极端值的影响，不能反映中间数据的离散状况． 2．方差 (1)总体方差： ①定义：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝_____为总体方差或方差． ②意义：总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的_____或_____的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离_____，个体向μ集中得_____． 总体方差σ2也刻画了总体中个体的_____或_____的程度：方差越小，表明个体越_____，波动_____． (2)样本方差 ①定义：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称 为这n个数据的样本方差，也简称方差． ②意义：样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值_____或_____的程度．当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计． (3)分层抽样的方差 将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为，样本方差分别为，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为n＝n1＋n2，＝(n1＋n2)，s2＝_____． (1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？ (2)数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为，那么s2与的大小关系如何？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．标准差 (1)定义：标准差是方差的算术平方根． 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． s＝． (2)标准差的意义 标准差刻画了数据的_____或_____，标准差越大，数据的离散程度越_____；标准差越小，数据的离散程度越_____．样本标准差是总体标准差的估计． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　) 2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1，2，3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) 图1　　　　　　图2　　　　　图3 A．s3＞s1＞s2　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 类型1　方差和标准差的计算 【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更 ... ...