2.4 圆的方程 【知识点1】点与圆的位置关系 1 【知识点2】圆的标准方程 2 【知识点3】圆的一般方程 3 【知识点4】待定系数法求圆的方程 4 【知识点5】圆方程的应用 5 1.知道点与圆的位置关系(重点)。 2.掌握圆的标准方程与一般方程(重难点)。 3.掌握圆的综合应用(重点)。 【知识点1】点与圆的位置关系 1．点与⊙C的位置关系 (1) |AC|r 点A在圆外 ． 2．点与圆位置关系的判断 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较． (2)代数法：直接利用下面的不等式判定． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外． ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上． ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内． 【例1】（2024秋 唐山期末）已知圆C：x2+y2＝4，则下列各点在圆C上的是（ ） A．（1，2） B．（1，﹣3） C．（2，0） D．（3，1） 【例2】（多选）（2025春 长沙期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ） A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内 C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内 【例3】（2024秋 淄博期末）若点P（2，2）是圆C：x2+y2﹣2y+3﹣m＝0外的一点，则m的取值范围是 ． 【例4】（2024秋 邢台期末）已知A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1），点M（a，2）在△ABC的外接圆上试求a的值． 【知识点2】圆的标准方程 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． (3)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 2．圆的标准方程 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径． (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程 例1： 【例5】（2025 台州模拟）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（ ） A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4 【例6】（2025 金安区校级模拟）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（ ） A．x2+y2﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0 【例7】（2025 广安区校级开学）过A（0，0），B（0，8），C（6，0）三点的圆的标准方程为 ． 【例8】（2024秋 开封期末）圆C的圆心在x轴上，且经过A（0，1），B（2，1）两点，则圆C的标准方程为 ． 【知识点3】圆的一般方程 1．圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． 2．圆方程的求解 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解 例1： 【例9】（2025 眉山校级三模）方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（ ） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞） 【例10】（多选）（2024秋 喀什市期末）已知x2+y2﹣4x+6y＝0表示圆，则下列结论正确的是（ ） A．圆心坐标为C（﹣2，3） B．圆心坐标为C（2，﹣3） C．半径r＝13 D．半径 【例11】（2025春 普陀区校级期末）已知m∈R，圆x2+y2﹣9x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ． 【例12】（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）． （1）求边BC所在直线的方程； （2）若AC的中 ... ...
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