4.2.2 对数的运算性质 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

4．2.2　对数的运算性质(1) 1. 理解对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法. 2. 弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题. 3. 在对数的运算性质的形成过程中，感受化归与转化的思想，感受数学抽象的魅力，体会逻辑推理的作用． 活动一 对数运算性质 我们已经知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？ 思考1 指数幂运算有哪些性质？ 思考2 指数式与对数式的互化公式是怎样的？ 思考3 根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？ (1) 设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值； (2) 设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N). 在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN. 思考4 同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，可得到对数运算的其他性质：loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R).你能不能推导出来呢？ 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 例1　求下列各式的值： (1) log2(23×45)； (2) log5125. 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值； 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． 要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN. 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1) loga； (2) loga. 活动二　对数运算性质的应用　 例2　已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)： (1) lg 12；　　　　　(2) lg . 将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质的灵活运用． 已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)： (1) lg 18；　　　　　(2) lg . 活动三 利用对数运算性质求值或化简　　 例3　计算或化简下列各式： (1) (lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 50； (2) log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (3) loga＋loga＋loga(a＞0，a≠1). 利用对数的运算性质解决问题的一般思路： (1) 把复杂的真数化简； (2) 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简； (3) 逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． 计算下列各式的值： (1) lg －lg ＋lg ； (2) lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 1. 已知a2＝(a>0)，则a的值是(　　) A. B. C. D. 2 2. (2024上海长宁期末)若ln a与ln b互为相反数，则下列说法中正确的是(　　) A. a＋b＝1 B. a－b＝1 C. ＝1 D. ab＝1 3. (多选)若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，n∈N*，n>1，则下列式子中正确的是(　　) A. logax·logay＝loga(x＋y) B. logax－logay＝loga(x－y) C. loga＝logax－logay D. loga＝logax 4. (2024徐州期中)ln 1＋lg 2＋3lg 5－lg ＝_____． 5. 计算下列各式的值： (1) log535＋2－log5－log514； (2) [(1－log63)2＋log62×log618]÷log64. 4．2.2　对数的运算性质(2) 1. 进一步熟悉对数的运算性质，并能灵活地运用性质解决问题. 2. 掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 ... ...