第4章 指数与对数 本章复习 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

第4章　指数与对数 本 章 复 习 1. 了解n次方根与根式的概念及其性质． 2. 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 3. 理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 4. 体会转化与化归思想在指数和对数运算问题中的应用． 活动一 构建知识网络 1. 　2. 　 3. 活动二　根式与指数幂的运算　 1. ()n与的区别：()n与这两个式子非常相似，但是差别很大，一定要注意区别(可以类比平方根、立方根记忆．n为偶数时类比平方根，n是奇数时类比立方根). (1) 当n为大于1的奇数时，对于任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的n次方根，()n＝a. (2) 当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，(±)n＝a. (3) 式子对于任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝　 2. 分数指数幂的规定 (1) 正数的正分数指数幂的意义：a＝(a>0，m，n均为正整数). (2) 正数的负分数指数幂的意义：a－＝＝(a>0，m，n均为正整数). (3) 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1) asat＝as＋t； (2) (as)t＝as t； (3) (ab)t＝atbt，其中s，t∈R，a>0，b>0. 例1　(1) 化简：(a>0，b>0)； (2) 计算：－2×()－＋－6×(－)-4. 化简下列各式(a>0，b>0)： (1) (ab)(－2ab)÷(ab)； (2) ÷(1－2)·. 解决根式与分数指数幂的化简或求值问题的通法： (1) 利用分数指数幂的性质进行根式运算时，其顺序是先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行化简或计算，同时需注意化简结果形式要统一，即结果中根式与分数指数幂不能同时存在． (2) 一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子与分母，将负指数变成正指数． 活动三　对数运算性质的应用　 例2　求下列各式的值： (1) log2.56.25＋lg 0.01＋ln －21＋log23； (2) 27－2log23×log2＋2lg (＋)； (3) . 计算： (1) log2(47×82)＋(lg 5)2＋lg 2×lg 50； (2) lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＋6lg . 1. 解决对数运算性质的应用的通法： 对数的运算、化简需要用到对数的运算性质，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯．应用对数恒等式alogaN＝N时，一定要注意公式的结构，当指数的底数与对数的底数是同一个数时，才能使用该公式． 2. 对数式的化简与求值的常用方法和技巧： (1) 对于同底的对数的化简要用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差). (2) 对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． (3) 对于有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值． (4) 要充分运用“以1为真数的对数等于0，以底数为真数的对数等于1”等对数的运算性质. 活动四　换底公式的应用　 例3　若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245. 已知log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7，a>0，b>0，求log2(ab)的值． 解决换底公式的应用问题的通法： 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值和恒等变形中起了重要作用，在解题中需要注意：①针对具体问题，选择恰当的底数；②注意换底公式与对数运算法则结合使用；③换底公式的正用与逆用；④变形公式可以简化运算． 活动五　与指数、对数有关的应用问题　 例4　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是_____单位． 地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地 ... ...