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课件网) 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 探究点一 二项式定理的正用与逆用 探究点二 与展开式中的特定项有关的问题 探究点三 二项式定理的灵活应用 探究点四 整除和求近似值问题 【学习目标】 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 知识点 二项式定理及相关概念 二项式定理 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 公式右边各项的系数_____ 二项展开式的 通项 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）的展开式中共有 项.( ) × （2）二项式与的展开式的第 项一定相同.( ) × （3）是的展开式的第 项.( ) × （4）与 的二项展开式的二项式系数相同.( ) √ 探究点一 二项式定理的正用与逆用 例1 利用二项式定理展开下列各式： （1） ； 解： . （2） ． 解： . 例2（1） 设 ， ，则 的值为( ) A.128 B.129 C. D.0 [解析] . √ （2）化简： . 解： . 变式（1） 若 ，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为 ，所以，即 .故选B. √ （2）求 的二项展开式. 解： . ［素养小结］ 二项式定理的双向功能： （1）正用：将二项式 展开，得到一个多项式，即二项式定理 从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开. （2）逆用：将多项式合并成二项式 的形式，即二项式定理 从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉 公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 探究点二 与展开式中的特定项有关的问题 例3 在 的展开式中，第6项为常数项. （1）求 的值； 解： 的展开式的通项为 .因为展开式的第6项 为常数项，所以当时，，解得 . （2）求展开式中含 的项的系数； 解：令，解得，则展开式中含 的项的系数为 . （3）求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数； 解：因为的展开式的通项为 ， 所以展开式的第4项的二项式系数为 ，展开式的第4项的系 数为 . （4）求展开式中所有的有理项. 解：根据题意得所以 的值可以为2,5,8， 所以展开式的第3项、第6项与第9项为有理项， 它们分别为，， ， 即，, . 变式（1） 二项式 的展开式中的常数项为( ) A.80 B. C. D.40 [解析] 二项式 的展开式的通项为 ，令 ，得 ，所以常数项为 .故选B. √ （2）已知为奇数，在 的展开式中，第4项的系数与倒数 第4项的系数之比为 . ①求 的值； 解： 的展开式的通项为 ， 展开式中第4项的系数为 ，倒数第4项的系数为 ，，即， . ②求展开式的中间两项. 解：由①可知， 的展开式的通项为 ， 二项展开式中共有8项，中间两项即为第4项和第5项， 则，， 展开式的中间两项为和 . ［素养小结］ 1.求二项展开式的特定项的常见题型： （1）求第项， ； （2）求含的项（或含 的项）； （3）求常数项； （4）求有理项. 2.求二项展开式的特定项的注意点： （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）. （2）对于有理项，一般是先写出展开式的通项，再求所有的字母的 指数恰好都是整数的项.解决这类问题必须合并通项中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 探究点三 二项式定理的灵活应用 例4（1） 在的展开式中， 的一次项的系数为___. （用数字作答） 4 [解析] 因为 的展开式的通项为 ， 所以 的一次项的系数为 . （2）在的展开式中，含的项的系数为 ， 则 等于( ) A. B.2 C. D. [解析] 在的展开式中，含 的项的系数为 ，则，解得 . √ （3）在的展开式中，含 的项的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 [解析] 方法一：，展开式中含 的 项为，而的展开式中含 的项为 ，所以的展开式中含 的项的 系数为 . 方法二：表示5个相乘.含 ... ...
