本章总结提升 【知识辨析】 1.√ [解析] 当x为有理数时,D(x)=1;当x为无理数时,D(x)=0.所以函数的值域为{0,1}. 2.× [解析] 函数f(x)=是分段函数,它是一个函数,只不过在定义域的不同段上自变量和函数值之间有着不同的对应关系. 3.× [解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0). 4.× [解析] 根据函数单调性的定义,函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. 5.√ [解析] 根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意义,故具有奇偶性的函数首先要求其定义域关于原点对称,但定义域关于原点对称的函数未必具有奇偶性. 6.× [解析] 当奇函数f(x)在x=0处有定义时,一定有f(0)=0,但奇函数未必一定在x=0处有定义. 7.× [解析] 既是奇函数又是偶函数的函数是存在的,比如f(x)=0. 8.× [解析] 当m=0时,函数在[-2,+∞)上单调递增;当m≠0时,函数是二次函数,函数图象的对称轴为直线x=-,所以-≤-2且m>0,因此00,所以f(x)>0,故B正确;对于C,h(x)==+≥2(x>-1),当且仅当=,即x=0时等号成立,故C错误;对于D,因为x>1,所以0<<1,所以-1<-<0,则0<1-<1,即02且x≠3,所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 题型二 例2 (1)D (2)B [解析] (1)由=1得x=4,∴f(1)=42-3×4=4.故选D. (2)∵<2,∴f=3×+1=3,∵3>2,∴f=f(3)=32+3a=12,解得a=1.故选B. 变式 (1)D (2)C [解析] (1)因为f(-1)=1,f(a)+f(-1)=2,所以f(a)=1.当a≥0时,由f(a)==1,得a=1,满足题意;当a<0时,由f(a)==1,得a=-1,满足题意.综上,a=1或a=-1. (2)由题意得f(1)=a+b+1=1,所以a+b=0,则f(-1)=-(a+b)+1=1.故选C. 题型三 例3 解:函数f(x)=在区间上单调递减.证明如下: 设x1,x2是区间上的任意两个实数,且x2>x1, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为x2>x1>,所以x2-x1>0, 且(2x1-1)(2x2-1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)=在区间上单调递减. 变式 解:(1)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且x10,x2-x1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(-1,1)上单调递减. (2)易知y=x2-3x+2=(x-1)(x-2)在(-1,1)上单调递减,则当-10, 由不等式f(x)≥a(x2-3x+2)对于任意x∈(-1,1)恒成立,得a≤对于任意x∈(-1,1)恒成立. 令g(x)=== -=,h(x)=-+, 因为h(x)在上单调递增,在上单调递减,且当x∈(-1,1)时,h(x)>0, 所以g(x)在上单调递减,在上单调递增, 则g(x)在(-1,1)上的最小值为g=. 所以a≤,即a的取值范围是. 例4 (1)B (2)f(π)>f(-3)>f(-2) [解析] (1)作出y=|x2-3x+2|=的图象如图中实线所示,由图知,函数的单调递增区间是和[2,+∞).故选B. (2)∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2). 变式 (1)C (2)A [解析] (1)由题意得解得≤a<. (2)由|f(x+1)|<1,得-1
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