§3 不等式 3.1 不等式的性质 【课前预习】 知识点二 > > < > > < 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ [解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但a-c
b,c>d,但ac0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正确. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)> [解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b. (2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1), ∵x2-x+1=+≥>0, ∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x; 当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x; 当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x. 变式 B [解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2)2=8>6,故a>c;b-c=(+)-(+)且(+)2=9+2>9+2=(+)2,故c>b.所以a>c>b,故选B. 探究点二 例2 (1)D [解析] 因为a>b,所以a+c>b+c,故A不成立;当c=0时,ac=bc=0,故B不一定成立;当c=0时,=0,故C不一定成立;因为a>b,所以a-b>0,又c2≥0,所以(a-b)c2≥0,故D一定成立.故选D. (2)证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0, a-c>b-c>0,则(a-c)(b-c)>0,则>0, 所以·(a-c)>·(b-c)>0, 即>>0. 又c<0,所以>.故得证. 变式 (1)BCD [解析] 对于A选项,当a=4,b=1,c=2,d=1时满足已知条件,但此时a-c>b-d,A选项错误;对于B选项,由不等式的同向可加性及a>b,c>d,可得a+c>b+d,B选项正确;对于C选项,由a>b>0,c>d>0,可得ac>bd>0,所以<,C选项正确;对于D选项,由a>b>0,c>d>0,可得(b+c)(b+d)>0,(a+c)(b+d)-(b+c)(a+d)=ad+bc-bd-ac=(a-b)(d-c)<0,所以>0,0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得<,D选项正确.故选BCD. (2)证明:-=. ∵>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0. 又∵x>y>0,∴bx>ay>0,x+a>0,y+b>0, ∴>0,∴>. 探究点三 例3 解:(1)因为-1.故选D. 2.B [解析] M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M>N. 3.B [解析] P-Q=-=,∵a>b>c>0,∴b-a<0,a+b-c>0,ab>0,∴P-Q<0,即P0,b<0,所以a>-b>0,-a-b>0>b>-a,即a>-b>b>-a.故选C. 5.C [解析] A中,a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A是假命题;B中,>,若c<0,则ab3,则a>b,又ab<0,∴∴>,故C为真命题;D中,a2>b2且ab>0,则a>b>0或a>,故D是假命题.故选C. 6.C [解析] 因为a>b>a+b,所以b0,a>b,所以>,故A中结论正确;对于选项B,因为0>b>a+b,所以(a+b)2>b2,故B中结论正确;对于选项C,取a=-1,b=-2,则ab=2,(a+b)2=9,即ab<(a+b)2,故C中结论错误;对于选项D,因为<0,>0,所以<,故D中结论正确.故选C. 7.D [解析] 由0b+c,>,故A,D均错误;对于B,C,因为a>b>0,c>d>0,所以c2>0,所以ac>bd,ac2>bc2,故B,C均正确.故选BC. 9.AB [解析] 对于A,因为c<0b>0,所以a3>b3,所以a3+c2>b3+c2,故B正确;对于C,-==,因为c<00,但b+c的符号不确定,所以与的大小关系不确定,故C错误;对 ... ... 