本章总结提升 【知识辨析】 1.× [解析] 函数的零点不是点,是一个数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,所以函数f(x)=x-1的零点为1. 2.√ [解析] 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解. 3.√ [解析] 因为(-2b)2+4>0恒成立,所以函数y=x2-2bx-1一定有两个零点. 4.× [解析] 函数f(x)在(a,b)上的图象可能不是连续的曲线. 5.√ [解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)没有零点. 6.× [解析] 二分法适用于图象在区间[a,b]上是一条连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0的函数的零点问题. 7.√ [解析] 符合函数建模的步骤要求. 8.× [解析] 不一定,函数模型只是用来预测结果,与实际结果可能相等也可能不相等. 【素养提升】 题型一 例1 (1)B (2)C [解析] (1)易知f(x)=x3+x-1在R上是增函数.因为f<0,f(1)>0,所以ff(1)<0,故函数f(x)=x3+x-1的零点所在的区间为. (2)由f(x)=0,得lg(x-1)=3-x,构造函数h(x)=lg(x-1),g(x)=3-x(x>1),在同一平面直角坐标系内作出函数h(x)与g(x)的图象,如图所示.结合图象可知,这两个函数图象的交点的横坐标在区间(2,3)内,故函数f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选C. 变式 (1)C (2)B [解析] (1)易知函数f(x)在定义域内是增函数,因为f(1)=-1<0,f(2)=2>0,所以由零点存在定理得,f(x)的零点位于区间(1,2)内. (2)易知函数f(x)=-ln x在定义域内是减函数.∵f(2)=-ln 2>0,f(3)=1-ln 3<0,∴f(2)·f(3)<0,∴根据零点存在定理可得,函数f(x)=-ln x的零点所在的区间是(2,3),故选B. 题型二 例2 (1)C (2)A (3)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) [解析] (1)由题意可得x>0,求函数f(x)=x2+ln x-2021的零点个数,即求方程ln x=2021-x2(x>0)的解的个数.数形结合可得,函数y=ln x的图象和函数y=2021-x2(x>0)的图象有1个交点,故f(x)=x2+ln x-2021有1个零点,故选C. (2)在同一平面直角坐标系内作出f(x)的图象和直线y=a,如图所示,由图可知当0
0,故f(x)有且仅有两个零点,符合题意.③当a∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,关于x的方程x2-ax+1=0有两个不等实根m,n,不妨设m2时,-ax2+1=-+1=<0, -ax4+1=-+1=>0,舍去x2,x4,故f(x)有且仅有两个零点-1,1,符合题意;当a<-2时,-ax1+1=2+a<0,-ax3+1=2-a>0,舍去x1,x3,故f(x)有且仅有两个零点,,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 方法二:当x2-ax+1≥0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1=(x+1)[(a-1)x-1],令f(x)=0,得x1=-1,x2=.又x2-ax+1≥0,所以x1=-1对应a≥-2,x2=对应a≤2.当x2-ax+1<0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x+(x2-ax+1)=(a+1)x2-(a+2)x+1=(x-1)[(a+1)x-1],令f(x)=0,得x3=1,x4=.又x2-ax+1<0,所以x3=1对应a>2,x4=对应a<-2.特别地,当a=1时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=0时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=-1时,函数f(x)有两个零点,分别为-1和-,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 变式 (1)C (2)(1,3]∪(4,+∞) [解析] (1)函数f(x)的零点个数等价于方程log2(x+4)=3x的实根个数,等价于函数y=log2(x+4)与y=3x图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=log2(x+4)与y=3x的大致图象,如图所示,由图可知两个函数图象共有两个不同的 ... ... 