1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（课件 学案 练习）高中数学人教B版（2019）必修 第一册

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【课前预习】 知识点一 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (2)如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是假命题,反之亦然. (3)因为命题p:若x>1,则x2>1是真命题,所以其否定 p:若x>1,则x2≤1是假命题. 知识点二 存在量词命题　全称量词命题 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (2)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”. (4)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”. 【课中探究】 例1　解:(1) p:4≤2,假命题. (2) q:方程x2+2x-4=0没有实数根,假命题. (3) r:正方形不都是菱形,假命题. 变式　解:(1) p:空集不是集合A的子集.因为命题p是真命题,所以 p是假命题. (2) q:若xy=0,则x与y均不为0. 因为命题q是真命题,所以 q是假命题. (3) s:有的平行四边形的对角线不互相平分.因为命题s是真命题,所以 s是假命题. 例2　解:(1)全称量词命题. 原命题的否定:存在实数x,使得x2<|x|.原命题的否定是真命题. (2)存在量词命题. 原命题的否定:对任意的实数x,都有x2+x-2>0.原命题的否定是假命题. (3)全称量词命题. 原命题的否定:存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题. (4)全称量词命题. 原命题的否定:方程x2-3x+1=0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题. 变式　解:(1) x∈R,|x|+1-x=0. (2)三个给定产品中至少有一个不是次品. (3) a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点. (4)每一个平行四边形都不是菱形. 探索 解:若全称量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即存在量词命题为真命题来解决问题.同理,若存在量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即全称量词命题为真命题来解决问题. 例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题知命题“ x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根.当a=0时,满足题意;当a≠0时,Δ=4-4a≥0,即a≤1且a≠0.综上,a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}.故选B. (2)由于“ x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,因此“ x∈[1,4],2x+a+1<0”是真命题,则2×4+a+1<0,则a<-9.故选A. 变式　(1) x≥1,x2+1≤2　(2)(-∞,6)　[解析] (1)因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“ x≥1,x2+1>2”的否定为“ x≥1,x2+1≤2”. (2)由题意知,p为真命题,即关于x的不等式x2+2-a>0,即x2+2>a在[1,2]上有解,当1≤x≤2时,3≤x2+2≤6,所以a<6.故实数a的取值范围为(-∞,6). 【课堂评价】 1.A　[解析] 命题“ x∈Q,x+是无理数”的否定是“ x∈Q,x+不是无理数”.故选A. 2.D　[解析] 由题意知,原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,所以其否定为“对任意a∈{x|x<0},都有a2-2a-1≤0”. 3.B　[解析] 因为p:任意的菱形四条边都相等,所以 p:“存在一个四边形为菱形,它的四条边不全相等”.故选B. 4.(-∞,-3]∪[3,+∞)　[解析] 由“ x∈[1,3],mx+3-2m>0”是假命题,得“ x∈[1,3],mx+3-2m≤0”是真命题,则m+3-2m≤0或3m+3-2m≤0,解得m≥3或m≤-3,故实数m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.C　[解析] 命题“ x∈(1,+∞),x2-2=0”的否定为“ x∈(1,+∞),x2-2≠0”.故选C. 2.C　[解析] 命题“ x>0,x+≥3”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“ x>0,x+≥3”的否定是“ x>0,x+<3”.故选C. [易错点] 在命题的否定中要先考虑原命题中自变量的范围. 3.B　[解析] 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p:所有学生都会做第1题的否定是“至少存在一个学生不会做第1题”.故选B. 4.A　[解析] 有的三角形为正三角形的否定是所有的三角形都不是正三角形,故A中说法错误;有些矩形是正方形的否定是所有矩形都不是 ... ...