第二章 滚动习题(四) [范围§3~§5]（含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

滚动习题(四) [范围§3~§5] (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.已知向量a=(3,6),c=(m,-1),若a⊥(a-c),则实数m的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.9 B.17 C.7 D.21 2.若|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角为 (　 ) A.120° B.150° C.60° D.30° 3.已知a,b均为单位向量,且a+b=(,-1),则|a-b|=(　 ) A.1 B. C. D.2 4.已知向量a=(2,3),b=(4,2),那么向量a-b与a(　 ) A.平行 B.垂直 C.夹角是锐角 D.夹角是钝角 5.[2024·海口海南中学高一月考] 若向量a,b满足a=(1,1),|b|=1,且a在b上的投影向量为-b,则(a+b)·b= (　 ) A.-1 B.0 C.-2 D.2 6.已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2,动点P位于边AB上,当· 取得最小值时,向量 与的夹角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 7.已知向量a=(1,-2),b=(λ,1),记向量a与b的夹角为θ,则 (　 ) A.当λ>2时,θ为锐角 B.当λ<2时,θ为钝角 C.当λ=2时,θ为直角 D.当λ=-时,θ为平角 8.给出下列说法,其中正确的有 (　 ) A.若|a|=|b|=|a+b|=2,则|a-b|=2 B.在△ABC中,若(+)·=0,则△ABC为等腰三角形 C.若等边三角形ABC的边长为2,则·=2 D.已知a=(1,2),b=(1,1)且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 9.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cos θ=　　　　. 10.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB的中点,则·+·=　　　　. 11.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的最大值是　　　,最小值是　　　　. 四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 13.(15分)已知向量a和b的夹角为60°,且|a|=3,|b|=4. (1)求|a+b|; (2)若|ka-b|≥,求实数k的取值范围. 14.(15分)已知向量=(1,-1),=(-2,3),非零向量=m+n(其中m,n∈R,O为坐标原点). (1)当m=2,n=-1时,=λ,求实数λ的值; (2)当(2+)⊥时,求m(n+1)的最小值.滚动习题(四) 1.B　[解析] 根据题意得a-c=(3-m,7),因为a⊥(a-c),所以a·(a-c)=3(3-m)+42=0,解得m=17.故选B. 2.B　[解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,∵θ∈[0°,180°],∴θ=150°.故选B. 3.A　[解析] 因为a,b均为单位向量,且a+b=(,-1),所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=()2+(-1)2=3,所以2a·b=1,所以|a-b|==1.故选A. 4.D　[解析] 因为a=(2,3),b=(4,2),所以(a-b)·a=a2-a·b=22+32-(2×4+3×2)=13-14=-1<0,a-b=(-2,1),所以2×1-3×(-2)≠0,即a-b与a不平行,所以向量a-b与a的夹角为钝角. 5.B　[解析] 由题意知,a在b上的投影向量为·=-b,因为|b|=1,所以a·b=-1,所以(a+b)·b=a·b+b2=-1+|b|2=0.故选B. 6.B　[解析] 以A为原点,AB所在直线为x轴,AB所在直线的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),O(,1).设P(x,0),x∈[0,2],向量与的夹角为θ,可得·=(-x,0)·(-x,1)=-x(-x)=x2-x=-,故当x=时,·取得最小值,最小值为-,此时||=,||=,则cos θ==-,∴sin θ==,故选B. 7.ACD　[解析] 根据题意,向量a=(1,-2),b=(λ,1),则a·b=λ-2.对于A,当a·b>0且a,b不共线时,θ为锐角,则有解得λ>2,故A正确;对于B,当a·b<0且a,b不共线时,θ为钝角,则有解得λ<2且λ≠-,故B错误;对于C,当λ=2时,a·b=λ-2=0,即θ为直角,故C正确;对于D,当λ=-时,b=,则a=-2b,所以θ=180°,故D正确.故选ACD. 8.AB　[解析] 对于A,若|a|=|b|=|a+b|=2,则|a|2=|b|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=4,所以2a·b=-4,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=4+4+4=12,则|a-b|=2,故A正确;对于B,因为(+)·=0,所以(+)·(-)=-=0,即||=||,即△ABC为等腰三角形,故B正确; ... ...