单元素养测评卷(二) 1.C [解析] 向量是既有大小又有方向的量,大小相等的两个向量,方向不一定相同或相反,故A不正确;当b=0时,a与c不一定平行,故B不正确;尽管两个向量的模有大小之分,但两个向量是不能比较大小的,故D不正确;由平行向量的定义知C正确,故选C. 2.C [解析] 因为a∥b,所以1×(m+3)=2×m,解得m=3. 3.C [解析] 由题意知||=||=1,且,的夹角是120°,所以|3+4|====,故选C. 4.D [解析] 根据题意得=+=+(+)=+×+=+.故选D. 5.C [解析] 因为=,所以=,即a=c,又4c2=3b2,所以b=c,所以cos A==-,又A∈(0,π),所以A=. 6.C [解析] ∵矩形ABCD为黄金矩形,BC=-1,AB>BC,∴AB=2,则·=||·||· cos∠BAC=||2=4. 7.A [解析] 由(-)·(+-2)=0,得·(-+-)=0,则(-)·(+)=-=0,所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.故选A. 8.D [解析] 由正弦定理得2c2=(a+b)(b-a),即b2-a2=2c2,则cos C==≥=,当且仅当3a2=b2,即b=a时等号成立,则cos C的最小值为,从而C的最大值为.当C=时,由b=a,b2-a2=2c2,可得3a2-a2=2c2,则a=c,所以A=C=,从而B=π-A-C=π.故选D. 9.BD [解析] 根据单位向量的概念,易知选BD. 10.BCD [解析] 因为点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以==-,故A不正确;=(+)=+=-+,故B正确;=-=++=++=++=+++=+,故C正确;由题意知,点G为△ABC的重心,所以++=++=×(+)+×(+)+×(+)=0,即++=0,故D正确.故选BCD. 11.BC [解析] 易知-=,故A错误;设θ为向量与的夹角,因为·=||·||·cos θ,且-1
0,但△ABC为钝角三角形,故D错误.故选BC. 12.-e [解析] 由|a-e|=|a+2e|得(a-e)2=(a+2e)2,所以|a|2-2a·e+1=|a|2+4a·e+4,解得a·e=-,所以向量a在e上的投影向量为e=-e. 13. [解析] 如图,连接AC.因为E为BC的中点,所以=(+),又=+,且AB∥CD,AB=2CD,所以=+,所以==+,所以由=x+y,得x=,y=,所以x+y=. 14.15 [解析] 设OP=h米,因为∠PAO=30°,∠PBO=60°,∠PCO=45°,所以OA===3h(米),OB===h(米),OC==h(米).在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB·BC·cos∠OBC,即3h2=h2+752-2×75hcos∠OBC①.在△OAB中,OA2=OB2+AB2-2OB·AB·cos∠OBA,即9h2=h2+752-2×75hcos∠OBA②.因为cos∠OBC+cos∠OBA=0,所以①②两式相加可得12h2=2h2+2×752,可得h=15,则OP=h=15(米). 15.解:(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1), 所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10. 因为a+b=(7,-1),所以|a+b|==5. (2)由(1)可知,|a|=,|b|=. 设a与b的夹角为θ,则cos θ===. 16.解:(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 所以由正弦定理可得b2+c2-a2=bc, 所以由余弦定理可得cos A==. 又0