4．2．2 等差数列的前n项和公式 [新课程标准] 1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．掌握等差数列前n项和的性质并应用． 3．会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题． 4．通过掌握等差数列前n项和的公式及应用，培养学生数学运算的核心素养；通过对等差数列前n项和性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养． 第一课时 等差数列的前n项和 (一)教材梳理填空 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [微思考] 等差数列的前n项和公式可变形为Sn＝na1＋d＝n2＋n.那么我们说“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”，这种说法对吗？为什么？ 提示：不正确．当d≠0时，Sn是n的二次函数，且不含有常数项；当d＝0时，Sn＝na1，不是n的二次函数． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( ) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．( ) (3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于( ) A．10 B．12 C．15 D．30 解析：选C 因为等差数列{an}中，a2＋a4＝6，故a1＋a5＝6，所以S5＝＝＝15.故选C. 3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝_____. 解析：∵an＝－5n＋2， ∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5， ∴Sn＝＝－. 答案：－ 题型一 等差数列前n项和的计算 [学透用活] [典例1] (1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值． (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. [解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 ∴Sn＝18n－n(n－1)＝63，解得n＝6或n＝7. 故n的值为6或7. (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d. 将S12＝84，S20＝460分别代入， 得解得 ∴S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋14×27×4 ＝1 092. 法二：设此等差数列的前n项和Sn＝an2＋bn. ∵S12＝84，S20＝460， ∴解得 ∴Sn＝2n2－17n，∴S28＝2×282－17×28＝1 092. 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． [对点练清] 1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A．160 B．180 C．200 D．220 解析：选B 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24得a2＝－8， 由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26， S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180. 2．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝( ) A．－2 B． C．1 D． 解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 3．[多选]数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则( ) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 解析：选ACD 设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10. 题型二 等差数列前n项和的应用 [学透用活] [典例2] (1)已知数列 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
