4．3 等比数列 4．3．2 等比数列的前n项和公式 [新课程标准] 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．掌握等比数列前n项和的性质． 3．掌握利用分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和． 4．通过等比数列前n项和的应用，培养学生数学运算的核心素养． 第一课时 等比数列的前n项和 知识点一 等比数列的前n项和公式 (一)教材梳理填空 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．( ) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( ) 答案：(1)× (2)√ 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A 由S5＝＝44，得a1＝4. 3．数列{2n－1}的前99项和为( ) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 解析：选C 数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1. 知识点二 等比数列前n项和的性质 (一)教材梳理填空 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) 数列{an}为等比数列． (二)基本知能小试 1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A．31 B．33 C．35 D．37 解析：选B 根据等比数列性质得＝q5， ∴＝25，∴S10＝33. 2．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 解析：选C 设该数列为a1，a2，…，a2n，公比为q，由题意可知＝q＝2，an＋an＋1＝24.又a1＝1，∴qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，解得n＝4，故项数为8. 题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算 [学透用活] 等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此，当公比未知时，要对公比进行分类讨论． [典例1] 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)若a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)若S3＝，S6＝，求an及Sn. [解] (1)显然q≠1，由Sn＝，即＝， ∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×n－1＝，∴n＝6. (2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－. 法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3. ∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－. 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． [对点练清] 1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为( ) A．4 B．2 C．1 D． 解析：选B 设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，可得1－q20＝(1＋210)(1－q10)，即为1＋q10＝1＋210，解得q＝2. 2．[多选]已知正项等比数列{an}中a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则( ) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1
