5．1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 [新课程标准] 1．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．通过学习，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 知识点一 导数的概念 (一)教材梳理填空 1．平均变化率 我们把＝叫做函数f(x)从到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数的概念 定义式 ＝ 记法 f′(x0)或y′|x＝x0 实质 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( ) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 解析：选C f′(0)＝ ＝＝(Δx－3)＝－3.故选C. 3.如图是函数y＝f(x)的图象，则 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为_____； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为_____． 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. (2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 答案：(1) (2) 知识点二 导数的几何意义 (一)教材梳理填空 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f(x)＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案：B 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( ) A．4 B．－4 C．－2 D．2 答案：D 题型一 求函数在某点处的导数 [学透用活] [典例1] (1)函数y＝在x＝1处的导数为_____． (2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3. ①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值； ②求t1＝4时的导数． [解析] (1)因为Δy＝－1， ＝＝， ＝，所以y′x＝1＝. (2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1) ＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3， 故当t1＝4，Δt＝0.01时， Δy＝0.481 201，＝48.120 1. ②＝[3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48， 故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48， 即y′t1＝4＝48. [答案] (1) (2)y′t1＝4＝48 1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)求极限. 2．瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． [对点练清] 求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋， 所以＝＝1＋. 当Δx趋于0时，→2， 所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2. 题型二 导数的实际意义 [学透用活] [典例2] 一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2处的瞬时变化率，并解释它的实际意义． [解] 当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3(2＋Δx)，函数值y关于x的瞬时变化率为＝＝＝3(m3/s)． 当Δx趋于0时，瞬时变化率总是3， 所以f′(2)＝3 m3/s. 导数f′(2)表示当x＝2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x＝2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可． [对点练清] 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义． 解：当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于 ... ...
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