第2课时 椭圆的几何性质的综合问题 【课前预习】 知识点 诊断分析 (1)× (2)× (3)× 【课中探究】 例1 A [解析] 由题意知所求椭圆的焦点为(±,0),设其方程为+=1(a>),将点(-3,2)的坐标代入方程可得+=1,得a2=15,故所求椭圆的标准方程为+=1,故选A. 变式 D [解析] 易知所以=16;所以=16=,则两椭圆的焦距相等,D正确.因为所以两椭圆的长轴长不相等,短轴长不相等,A,B错误.根据e=知,两椭圆的离心率不相等,C错误.故选D. 例2 (1)C (2)C [解析] (1)因为椭圆+=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.由解得所以椭圆方程为+=1,则左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).设P(x0,y0),则+=1,所以=8,则·=(-1-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-2x0-3+=-2x0-3+8-=-2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],可知当x0=-3时,·取得最大值12.故选C. (2)方法一:设点P(x0,y0),则|OP|=,且|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.∵点P在椭圆上,∴+=1,则=64-,∴|OP|=.∵0≤≤100,∴64≤+64≤100,即8≤|OP|≤10. 方法二:设点P(x0,y0),其中x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),则|OP|===,∵cos2θ∈[0,1],∴8≤|OP|≤10.故选C. 变式 11 [解析] 设该椭圆的右焦点为F2,连接PF2.因为+>1,所以点Q在椭圆外.由题意可得a=3,b=,c===2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因为|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|+|PQ|=6-|PF2|+|PQ|≤6+|QF2|,当且仅当Q,F2,P三点共线,且F2在线段PQ上时,等号成立.因为|QF2|==5,所以|PF1|+|PQ|≤11. 例3 B [解析] 设P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),因为正方形ABCD的面积为16,所以|AB|=4,所以+=16.由=+,可得即则+(2y)2=16,整理得+=1.故选B. 变式 (1)+y2=1 (2)+=1 [解析] (1)设圆x2+y2=4上一点的坐标为(x,y),经变换后所对应点的坐标为(x',y'),因为圆x2+y2=4上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,所以即所以(x')2+(2y')2=4,即+y'2=1,所以所得曲线的方程为+y2=1. (2)设M(x,y),P(x0,y0),则Q(0,y0).由(1-)=-,得=,则(-x0,0)=(-x,y0-y),可得因为点P(x,y)在圆x2+y2=12上,所以(x)2+y2=12,即+=1,所以动点M的轨迹方程为+=1. 拓展 +=1(x≠0) [解析] ∵kAM·kBM=-,∴·=-,化简得+=1.当M位于y轴上时,直线AM,BM的斜率均不存在,不合题意,舍去.故点M的轨迹方程为+=1(x≠0). 例4 D [解析] 取椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设椭圆方程为+=1(a>b>0),令y=-c,则+=1,解得x=±,依题意可得所以所以=,所以e==.故选D. 变式 A [解析] 以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中点为原点,建立平面直角坐标系.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆的离心率为,且|F1F2|=5 cm,所以e==,2c=5,可得a=,c=,所以由椭圆的定义得所求路程为2a=9(cm).故选A.(
课件网) 1 椭圆 1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的几何性质的综合问题 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.了解椭圆系方程的设法. 2.结合椭圆的定义，会用代数法、几何法求椭圆中的最值问题. 知识点 两个椭圆的关系问题 1.共焦点的椭圆系方程 ①与椭圆 有公共焦点的椭圆系方程为 ； ②与椭圆 有公共焦点的椭圆系方程为 . 2.同离心率的椭圆系方程 ①与椭圆 有相同离心率的椭圆系方程为 或 ； ②与椭圆 有相同离心率的椭圆系方程为 或 ． 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与焦点所在的坐标轴有关. ( ) × （2）椭圆方程中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而 能刻画椭圆的扁平程度.( ) × （3）离心率相同的椭圆是同一个椭圆.( ) × 探究点一 两个椭圆的关系问题 例1 过点且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程是( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意知所求椭圆的焦点为 ，设其方程为， 将点的坐标代入方 ... ...
