第2课时 空间向量的数量积 一、选择题 1.已知a,b,c为空间向量,则下列关于它们的说法正确的是 ( ) A.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c B.若c=2a+3b,则a,b,c共面 C.(a·b)·c=a·(b·c) D.向量a在向量b方向上的投影数量一定是正的 2.若|a|=4,a和b的夹角为60°,则a在b方向上的投影数量为 ( ) A.2 B. C.2 D.4 3.已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则·b= ( ) A. B.1 C. D.0 4.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=AA'=2,∠BAD=,∠BAA'=∠DAA'=,则AC'= ( ) A.2 B.2 C.4 D.2 5.[2024·河北保定高二开学考] 如图,A1B1,AB分别是圆台上、下底面的直径,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近点B1的三等分点,则在方向上的投影向量是 ( ) A. B. C. D. 6.我国古代数学名著《九章算术》中记载了一种几何体,名为“堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,AC⊥AB,P为B1C1的中点,则·= ( ) A.6 B.-6 C.2 D.-2 7.(多选题)设a,b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式中正确的是 ( ) A.a2=|a|2 B.= C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 8.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线的长度都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个式子中结果为-a2的有 ( ) A.2· B.2· C.2· D.2· 二、填空题 9.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则向量a+2b与向量a的夹角为 . 10.[2024·江西十一校高二期中] 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AA'=3,则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 11.已知空间向量a,b的夹角为120°,且a·b=-2,则|2a-b|的最小值为 . 12.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,PA=2,∠PAB=∠PAC=∠CAB=,点D在线段BC上,且BD=BC,则直线AD与直线PC夹角的余弦值为 . 三、解答题 13.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为B1C1的中点. (1)求<,>,<,>的大小; (2)求向量在向量方向上的投影数量. 14.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1= ∠A1AD=,=2,N为CD的中点. (1)求线段AM的长; (2)求∠MAN的余弦值. 15.在平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(3,-6),现沿x轴将坐标平面折成120°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 ( ) A.2 B.2 C.8 D.3 16.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱B1C1上的动点,则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 . (
课件网) 2 空间向量与向量运算 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 第2课时 空间向量的数量积 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.了解空间向量夹角的相关概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 知识点一 两个向量的夹角 1.概念:如图,已知两个非零向量,,在空间中任取一点,作, ,则 叫作向量与 的_____,记作_____. 夹角 2.夹角的取值范围:与的夹角的取值范围是_____,其中当时,与 方 向_____;当 时,与方向_____;当时,称与 _____， 记作.反之,若,则或 ;若,则 . 相同 相反 互相垂直 3.（1） ; （2）规定：零向量与任意向量垂直. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( ) × （2）若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角也为 .( ) × 知识点二 两个向量的数量积 1.概念:已知两个空间向量,,把_____叫作与的数量积,记作 , 即 _____. 2.空间向量数量积的性质 （1） . （2） _____. （3） ___. 0 3.空间向量数量积的运算律 （1） _____（交换律）. （2） ___ ... ...
