第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 【课前预习】 知识点一 1.定点O　位置向量 2.(1)方向向量　无数个　任意非零向量a (2)=ta　直线l的向量表示 诊断分析 (1)×　(2)√ 知识点二 (1-t)+t 诊断分析 (1)√　(2)× 知识点三 1.垂直　{P|a·=0}　不共线　a2x+b2y+c2z=0 一组解 2.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 诊断分析 1.× 2.解:平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 【课中探究】 例1　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,是直线l的一个方向向量.故选A. (2)显然与能作为直线AA1的方向向量,故A,D满足题意;因为∥,≠0,所以能作为直线AA1的方向向量,故B满足题意;因为与不共线,所以不能作为直线AA1的方向向量,故C不满足题意.故选ABD. 变式　A　[解析] 设点B的坐标为(x,y,z),则=λa(λ>0),即 (x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),由 ||=34,即=34,可得λ=2,所以x=18,y=17,z=-17,则点B的坐标为(18,17,-17),故选A. 拓展　解:(1)平行于x轴的直线的方向向量为n1=(x0,0,0)(x0≠0),平行于y轴的直线的方向向量为n2=(0,y0,0)(y0≠0),平行于z轴的直线的方向向量为n3=(0,0,z0)(z0≠0). (2)平行于xOy平面的直线(该直线与x轴、y轴都不平行)的方向向量为n4=(x1,y1,0)(x1,y1≠0). 例2　C　[解析] 在空间中取一点O(0,0,0),∵A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,∴存在实数t,使得=(1-t)+t=(0,1-t,2-2t)+(t,3t,5t)=(t,1+2t,2+3t)=(2,5,4-k),得t=2,k=-4.故选C. 变式　(1)　(2)　[解析] (1)依题意知=(1,2,3),=(1,0,-2),因为点D是直线AB上的一点,所以存在实数λ,使得=λ,则=+=+λ=(1+λ,2λ,-2+3λ).因为CD⊥AB,所以·=0,即(1+λ)+2(2λ)+3(-2+3λ)=0,解得λ=,所以=. (2)若G,M,N三点共线,则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=++成立,所以=,可得λ=,所以x=y==,可得x+y=. 例3　(1)(答案不唯一)　[解析] 由题知,=(-1,1,2),=(-3,-1,2),设m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,则令y=-1,则m=(1,-1,1),故平面ABC的一个单位法向量是=. (2)解:因为∠DAB=45°,AD⊥BD,AB=,所以AD=BD=1,设PD=m(m>0),则P(0,0,m),C(-1,1,0),D(0,0,0),所以=(-1,1,-m),=(-1,1,0). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1,得n=(1,1,0), 所以平面PCD的一个法向量的坐标为(1,1,0). 变式　9　[解析] 由题意得=(k,2k+3,3),因为n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,点A,B在平面α内,所以n⊥,所以n·=(-3,1,2)·(k,2k+3,3)=-3k+2k+3+6=0,解得k=9. 例4　解:设P(x,y,z)为平面α内的任意一点,则=(x-3,y-2,z-1),∵直线l的方向向量n=(-1,3,4)垂直于平面α,∴·n=-1×(x-3)+3(y-2)+4(z-1)=0, 整理得平面α的方程为x-3y-4z+7=0. 变式　C　[解析] 因为P0(2,0,-1),P(x,y,z),所以=(x-2,y,z+1),由已知得⊥n,又n=(3,1,-1),所以·n=3(x-2)+y-(z+1)=0,整理得3x+y-z-7=0,故选C.§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 1.C　[解析] 对于A,根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知,若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量,A中说法正确;对于B,由平面的法向量的定义可知,若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直,B中说法正确;对于C,由平面的法向量的定义可知,零向量不能是平面的法向量,C中说法错误;对于D,由平面的法向量的定义可知,一个平面的法向量是不唯一的,D中说法正确.故选C. 2.C　[解析] 由题可知=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为λ=(-2λ,-λ,λ)(λ≠0),只有C符合,故选C. 3.A　[解析] 对于A,=(1,4,1),n·=2-4+2=0,故A符合题意;对于B,=(-3,1,-1),n·=-6-1-2=-9,故B不符合题意;对于C,=(-5,5,-2),n·=-10-5-4=-19,故C不符合题意;对于D,=(2,-2,2),n· ... ...