第三章 4.2 第1课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 【课前预习】 知识点 u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 【课中探究】 例1　(1)D　(2)B　(3)C　[解析] (1)∵a·b=0,∴l α或l∥α. (2)如图所示,以C1为原点,C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),∴M,N,∴=.易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一个法向量,而·=-×0+0×a+×0=0,∴⊥,又MN 平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C. (3)由题知,当m·n=0时,l∥α或l α.A选项中,m·n=(1,0,0)·(-2,0,0)=-2;B选项中,m·n=(0,2,1)·(-1,0,1)=1;C选项中,m·n=(1,-1,3)·(0,3,1)=0-3+3=0;D选项中,m·n=(1,2,3)·(1,0,1)=1+0+3=4.故选C. 变式　(1)2　(2)3　[解析] (1)因为直线l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1),且l∥α,所以e⊥n,则e·n=1×2-2λ+(-2)×(-1)=0,解得λ=2. (2)∵α∥β,∴m∥n,∴存在λ∈R,使得=λ,得λ=-,z=3. 例2　证明:(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),则=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则即 取z1=2,则n1=(0,-1,2).因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.又FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (2)由(1)知,=(0,2,1),=(2,0,0).设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,由n2⊥,n2⊥,得取z2=2,则n2=(0,-1,2).因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 变式　证明:∵=++=-++=-(-)++(+)=-+=-,∴与,共面, ∵MN 平面PBC,∴MN∥平面PBC. 拓展　解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DF, ∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中点, 又∵F为B1C1的中点,∴DF∥AA1且DF=AA1, ∴四边形DFA1A是平行四边形,∴A1F∥AD, ∵A1F 平面ADE,AD 平面ADE,∴A1F∥平面ADE. (2)能在棱B1B上找到一点N,使得A1N∥平面ADE.证明如下: 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵DF∥AA1,∴DF⊥AD,DF⊥DC,又∵AD⊥BC,∴DA,DC,DF两两垂直,以D为原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,DF所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设A1B1=2,AA1=2t,则A(0,,0),D(0,0,0),E(1,0,t),A1(0,,2t),则=(0,,0),=(1,0,t),又点N在棱B1B上,设BN=λBB1,0≤λ≤1,则N(-1,0,2λt),∴=(-1,-,2λt-2t).设平面ADE的法向量为n=(x,y,z), 则取z=1,得n=(-t,0,1), ∵A1N∥平面ADE,∴·n=t+0+2λt-2t=0,解得λ=,∴在棱B1B上存在一点N,且BN=BB1,使得A1N∥平面ADE.4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 1.A　[解析] 由m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),可得n=-2m,则n∥m,所以α∥β,故选A. 2.D　[解析] 若l∥α,则a·n=0.对于A,a·n=-2,不满足题意;对于B,a·n=1+0+5=6,不满足题意;对于C,a·n=-1,不满足题意;对于D,a·n=0-3+3=0,满足题意.故选D. 3.A　[解析] 设D(x0,y0,z0),∵=(-2,-6,-2),=(-3-x0,7-y0,-5-z0),=,∴-3-x0=-2,7-y0=-6,-5-z0=-2,解得x0=-1,y0=13,z0=-3,故点D的坐标为(-1,13,-3).故选A. 4.C　[解析] 在空间直角坐标系O-xyz中,易得平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),平面xOz的一个法向量为m=(0,1,0).因为点A(1,3,0),B(0,3,-1),所以=(-1,0,-1),易判断=(-1,0,-1)与n=(0,0,1),m=(0,1,0)不平行,所以直线AB不垂直坐标平面xOy,也不垂直坐标平面xOz,故B,D错误;因为n·=0×(-1)+0×0+1×(-1)=-1,所以直线AB不平行坐标平面xOy,故A错误;因为m·=0×(-1)+0×1+(-1)×0=0,所以直线AB平行于坐标平面xOz,故C正确.故选C. 5.C　[解析] 设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM 平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,得AM∥EO,又O是正方形ABCD对角线的交点,∴M为E ... ...