第三章 4.2 第2课时 用向量方法研究立体几何中的垂直关系（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系 【课前预习】 知识点一 u1⊥u2　u1·u2=0　u1∥n1　u1=λn1　n1⊥n2 n1·n2=0 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点二 一条斜线在这个平面内的投影　这条斜线　一条斜线　这条斜线在这个平面内的投影 诊断分析 (1)√　(2)√ 【课中探究】 例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由a=λb(λ≠0),知a∥b.由b·c=0,知b⊥c,则b⊥c,所以a⊥c.故选A. (2)由题意知n1≠λn2(λ∈R),且n1·n2=-6-3-20=-29≠0,所以α,β相交但不垂直,故选C. 变式　(1)C　(2)(-2,4,1)或(2,-4,-1)　[解析] (1)以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,则·=·=0,∴ON与AM垂直,易得ON与AM异面,故ON与AM异面垂直. (2)根据题意可得,=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴ 可得又∵|n|==, ∴=,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 例2　证明:连接OP,OQ,以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x轴、z轴,以过点O且与平面AOC垂直的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,0,1),B.∵P为AC的中点,∴P,∴=,=(1,0,0),=.由已知可得==,∴=+=,∴=-=.∵·=0,∴⊥,即PQ⊥OA. 变式　证明:方法一:如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴D(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1. 又AA1∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD. ∵BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 方法二:同方法一建系后,C1(0,1,),可得=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2).由得 取y1=-1,则x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).由得取y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=.∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 拓展　解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),则=(0,-1,-1),=. (1)假设存在点P(1,1,z1)满足题意,于是=(1,1,z1-1),所以所以即矛盾.故在B1B上不存在点P,使D1P⊥平面B1AE. (2)假设在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE.设N(1,y,z2),则因为=(1,y,z2-1),所以解得故在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE. 例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于A,当直线l与平面α相交时,不满足l⊥l',故A错误;对于B,当直线l与平面α相交时,不满足l与l'在平面α内的投影垂直,故B错误;对于C,当向量a和平面α不平行时,不满足a⊥l,故C错误;对于D,由三垂线定理的逆定理得D正确.故选D. (2)方法一:以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),M(0,0,1),N(0,1,2),则=(-2,2,0),=(-1,-1,1),=(0,1,1),所以·=2-2+0=0,·=0-1+1=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN.故选A. 方法二:连接OD,因为OM在底面ABCD内的投影是OD,AC⊥OD,所以由三垂线定理得AC⊥OM.过点O作OO'⊥CD于O',连接MO',NO'.设正方体的棱长为2,则MN=MO'=,NO'=2,所以MN2+O'M2=O'N2,所以MN⊥MO',由三垂线定理得MN⊥MO.故选A. 变式　证明:方法一:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,2),B(0,1,0),C1(0,0,2),M,可得=(-1,1,-2),=,∵·=0, ∴A1B⊥C1M. 方法二:由题意可知BB1⊥平面A1B1C1,故A1B在平面A1B1C1内的投影为A1B1.在△A1B1C1中,∵C1A1=C1B1,M是A1B1的中点,∴C1M⊥A1B1,∴由三垂线定理可得A1B⊥C1M.第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系 一、选择题 ... ...