第五章 4.2 二项式系数的性质（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

4.2　二项式系数的性质 【课前预习】 知识点一 1.增大　减小　2.和 诊断分析 (1)√　(2)√ 知识点二 1.首末两端“等距离”　2.增大　减小　　　 3.①2n　②2n-1 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【课中探究】 例1　C　[解析] ∵次数为m的二项式的展开式中第r+1项的二项式系数为,∴所给杨辉三角形中第m行的第14个数和第15个数分别为与,∴=,整理得=,解得m=34,故选C. 变式　D　[解析] 对于A,由组合数的性质可得=,故A中猜想正确;对于B,由组合数的性质可得+=, 故B中猜想正确;对于C,由二项式系数和的性质可得+++…+=2n,故C中猜想正确;对于D,115=(10+1)5=105+5×104+10×103+10×102+5×10+1=161 051,故D中猜想错误.故选D. 例2　解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1①. 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022②. (1)a0+a1+a2+…+a2022=1. (2)由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022, ∴a1+a3+a5+…+a2021=. (3)由①+②得2(a0+a2+…+a2022)=32022+1, ∴a0+a2+…+a2022=. 令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2022=. (4)∵(1-2x)2022的展开式的通项为=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,r∈[0,2022],r∈N, ∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1011),且a2022>0. ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022. 变式　(1)243　(2)ABC　[解析] (1)∵(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,代入可得各项系数之和为(1+2)5=243. (2)设t=x-1,则原式转化为(1+t)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,令t=0,得a0=1,故A正确;(1+t)5展开式的通项为Tr+1=tr,r=0,1,2,3,4,5,则a2==10,a3==10,即a2=a3,故B正确;令t=1,得a0+a1+a2+…+a5=25=32,所以a1+a2+…+a5=31,故C正确;令t=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,则a1-a2+a3-a4+a5=1,故D错误.故选ABC. 例3　解:的展开式的通项为Tk+1=()8-k=(-1)k·2k· . (1)易知展开式中共9项,则二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,该项为T5=(-1)4×24×=1120x-6. (2)设第k+1(k∈N*)项系数的绝对值最大, 则即整理得 于是k=5或k=6. 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 变式　解:(1)因为(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,所以=且n≥5,解得n=7, 所以=展开式的二项式系数之和为++…+=210=1024. (2)展开式的通项为Tr+1=x10-r·=(-2)rx10-2r,r∈[0,10],r∈N. 设的展开式中第k+1项的系数的绝对值最大, 则解得≤k≤,又k∈N,所以k=7, 所以的展开式中系数绝对值最大的项为T8=(-2)7x10-14=-.4.2　二项式系数的性质 1.C　[解析] (a+b)10的展开式共11项,第3项的二项式系数为,则由对称性可知,与第3项二项式系数相同的项的二项式系数为,即所求项为第9项.故选C. 2.D　[解析] 令x=1,得=(-1)2024=1.故选D. 3.C　[解析] ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,∴n=10,因此所有项的二项式系数和为210,故选C. 4.C　[解析] 因为在(x-1)n的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,即最大,所以n=10.故选C. 5.B　[解析] 因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,所以令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B. 6.A　[解析] 由题意,的展开式中各项系数的和为-2,令x=1,得-(1+a)=-2,解得a=1,故=.的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-2x-1)r=(-2)rx5-2r,由5-2r=1,得r=2,则T3=(-2)2x=40x,由5-2r=-1,得r=3,则T4=(-2)3x-1=-80x-1, 故所求的常数项为40-80=-40.故选A. 7.CD　[解析] 由题可知,该二项展开式中各项的系数与二项式系数相等,且展开式中第3项与第8项的二项式系数分别为,,则=,可得n=9.所以该展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.故选CD. 8.AD　[解析] 由(3x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a9=29①,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-49=-218②,①-②可得2(a1+a3+a5+a7+a9)=29+218,所以a1+a3+ ... ...