(
课件网) 3.2 基本不等式 3.2.2 基本不等式的应用 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 ◆ ◆ ◆ 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【练】 答案核查【导】 【学习目标】 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值 的问题，从中领会基本不等式 成立时的三个限 制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用. 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 角度1 配凑法求最值 例1（1）［2025·江苏无锡辅仁高级中学高一期中］已知实数 ， 则 的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 实数 ， ， 当且仅当时等号成立， 的最小值为6.故选B. √ （2）［2025·江苏泰州兴化中学高一月考］已知 且 ，则 的最小值为( ) A.12 B. C.16 D. [解析] 因为，所以， ，且 ，则 ， 当且仅当且，即， 时，等 号成立，所以 的最小值为16.故选C. √ 变式 利用基本不等式求以下最值： （1）若，求 的最大值； 解：， ， , 当且仅当，即时等号成立， 的 最大值为12. 变式 利用基本不等式求以下最值： （2）若，求 的最小值； 解：，，令，则, ， 可化为， ， 当且仅当，即，即 时等号成立， 的最小值为 . 变式 利用基本不等式求以下最值： （3）当时，求 的最大值. 解：当时，， ， ， 当且仅当，即 时等号成立， 的最大值为1. 角度2 常数代换求最值 例2（1）［2025·江苏宿迁湖滨高级中学高一月考］若， ， 且，则 的最小值为( ) A.20 B.12 C.16 D.25 √ [解析] 因为，所以 ，所以 ， 当且仅当且， 即 时取等号，所以 的最小值为25.故选D. （2）［2025·江苏扬州高一期中］已知，， ， 则 的最大值是____. 16 [解析] 因为，， ，所以 ，所以 ，当且仅当 即时等号成立，所以 的最 大值为16. 变式 ［2025·江苏丹阳高一期中］ 已知，， , 则 的最小值为( ) A.36 B.25 C.16 D.9 [解析] 由，，，得 ，所以 ，当且 仅当且，即， 时等号成立，所以 的最小值为16.故选C. √ 角度3 消元法求最值 例3 ［2025·江苏淮安涟水一中高一月考］已知 ，且 ，则 的最小值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以，由，得 ， 则，当且仅当，且 ， ，即， 时取等号.故选A. √ 变式 ［2025·北京大兴区高一期中］ 已知,，且 ，则 的最小值为( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 因为，所以，, ，所以 ，当且仅当 ，即 ，时，等号成立，所以 的最小值为1.故选C. √ ［素养小结］ 若是求和的最小值,通常化（或利用）积为定值;若是求积的最大值, 通常化（或利用）和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配 凑因式. 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 例4 ［2025·广东佛山石门中学高一月考］某住宅小区 为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一 座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由 两个相同的矩形和 构成的占地面积为100平 （1）设长为米，总造价为元，求关于 的表达式； 方米的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为每平 方米 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪， 造价为每平方米105元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪， 造价为每平方米40元. 解：由题可得，正方形的面积为 ，阴影 部分的面积为，所以 ，且 ，则，则 . （2）若市面上花坛造价为每平方米225元，求总造价 的最小值，并求此时花坛的造价. 解：由（1）可知， ，当且仅当 且，即 时等号成立，所以 . 此时花坛的造价为 （元）. 变式 ［2025·江苏徐州三中高一期中］ 已知， 为东西方向的海岸 线上相距的两地（在的东侧），地在，之间，且距离 地处，在地正南方向处有一海岛，由海岛 开往海岸的 小船以 的速度按直线方向航行. （1 ... ...
