微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题 类型一 例1 (1)D (2)A [解析] (1)当a=2时,原不等式为-4<0,满足题意,则a=2.当a≠2时,需满足 解得-2
2恒成立.由a>0,x>2,得>0,>0,所以+≥2=,当且仅当=且x>2,即x=2+时取得等号,所以解得00,y>0,且x+y=5,所以x+1+y+2=8,易知>0,>0,所以+=[(x+1)+(y+2)]=≥=,当且仅当即时取等号,所以+的最小值为,因为+≥2m+1恒成立,所以2m+1≤,解得m≤,所以实数m的取值范围是.故选A. (2)当m=0时,原不等式为3≥0,满足题意;当m≠0时,应满足解得00,所以原不等式等价于a≥=.又≤=,当且仅当x=2时,等号成立,所以a≥,则a的最小值是. 类型二 例3 (1)D (2) [解析] (1)∵不等式x+0,y>0,+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立,∴m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,∴实数m的取值范围是m<-1或m>4.故选D. (2)设函数y=x2-4x+1-ax=x2-(4+a)x+1,因为二次函数y=x2-(4+a)x+1的图象开口向上,因此y=x2-(4+a)x+1在区间[1,4]内的最大值在区间端点处取得.要使不等式x2-4x+1-ax>0在区间[1,4]内有解,只需y=x2-(4+a)x+1在区间[1,4]内的最大值大于0,因此12-(4+a)×1+1>0或42-(4+a)×4+1>0,解得a<-2或a<,则实数a的取值范围是. 变式 D [解析] 关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1,4]上有解,等价于m+1≥x+在区间[1,4]上有解,又x+≥6,当且仅当x=3时等号成立,故m+1≥6,可得m≥5,则实数m的最小值为5.故选D. 类型三 例4 (1)D (2)C [解析] (1)当m=0时,不等式为-3x+2≤0,即x≥,显然-3x+2≤0在R上有解,符合题意.当m≠0时,若m<0,则函数y=mx2+2(m-3)x+4的图象开口向下,显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解,符合题意;若m>0,则函数y=mx2+2(m-3)x+4的图象开口向上,则需满足[2(m-3)]2-4×4×m≥0,解得m≤1或m≥9,又m>0,所以0-2).又当x∈(-2,+∞)时,x+2+≥2=2,当且仅当x+2=且x>-2,即x=-2时取等号,所以a≤2,则实数a的最大值为2.故选C. 变式 (1)B (2)6 [解析] (1)设函数y=x2-ax+3,则二次函数y=x2-ax+3的图象开口向上,又“ x∈[1,3],x2-ax+3<0”是真命题,所以解得a>4.所以a>4是p为真命题的充要条件,结合选项知,a>3是p为真命题的一个必要且不充分条件.故选B. (2)因为x>0,y>0,所以6xy≤x2+(3y)2,当且仅当x=3y时等号成立,即12xy≤x2+(3y)2+6xy,整理得12xy≤(x+3y)2,所以+=≥.由x+3y++=8,得x+3y+≤8,整理得(x+3y)2-8(x+3y)+12≤0,即(x+3y-2)(x+3y-6)≤0,所以2≤x+3y≤6.因为m≥x+3y恒成立,所以m≥6,即m的最小值为6.微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题 1.D [解析] 由题可知,“ x∈R,x2+4x+a≥0”为真命题,故Δ=16-4a≤0,解得a≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞).故选D. 2.D [解析] 因为对于任意的0恒成立,所以当0,因为=≤=,当且仅当x=1时取等号,所以m>.故选D. 3.A [解析] 由x2+1-a≤0,得a≥x2+1,因为x∈[1,2],所以x2+1∈[2,5],要使得原命题为真命题,只需满足a≥5.根据选项,只有“a>5”是“a≥5”的充分且不必要条件.故选A. 4.B [解析] 因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时取等号.因为 x>2,x+≥a,所以当x>2时,a≤,即a≤6,所以 ... ... 