本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1 (1)D [解析] 对于A,由b2>c2,可得(b-c)(b+c)>0,又a>b>0,c
0,故b+c>0,所以A错误;对于B,由-c>-d>0,a>b>0,可得-ac>-bd>0,所以acb>0,所以ab>b2,又b2>c2,所以ab>c2,所以D正确.故选D. (2)解:因为-2b>0,所以ab>0,a-b>0,所以当ab>1时,a+>b+,当ab<1时,a+b>0,所以b-a<0,ab>0,ab+a+b>0,则b+-a-=(b-a)+=<0,所以b+b>c>0,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,则-==<0,即<,故C错误;对于D,因为a>b>c>0,所以-==<0,即<,故D错误.故选B. (2)当a≥0时,有0≤a<8,00,结合函数y=ax-2的图象可知,当0时,ax-2>0.因为当x>0时,关于x的不等式(ax-2)(-x2-bx+4)≤0恒成立,所以当x>0时,(ax-2)(x2+bx-4)≥0恒成立,故当0时,x2+bx-4≥0恒成立.故当x=时,+b·-4=0,则b=2a-,因为a>0,所以2a>0,>0,则b+=2a+≥2=2,当且仅当a=时,等号成立. (2)因为x>0,y>0且3x+2y=10,所以00,y>0,所以a>0,b>0,且ab=3,则x=,y=,所以3x+2y=+=(a+b)≥=,当且仅当a=b,即x=y时,取等号,则3x+2y的最小值为. 变式 (1)A (2)AC (3) [解析] (1)由题可知,+=+=4++≥4+2=8,当且仅当=,a+b=9,即a=2b=6时等号成立.故选A. (2)因为(x+y)2=+3xy,(x+y)2≥4xy,当且仅当x=y时等号成立,所以+3xy≥4xy,所以xy≤,所以A正确,B错误;因为(x+y)2=+3xy,且+3xy≤+3,当且仅当x=y时等号成立,所以(x+y)2≤+3,所以(x+y)2≤3,所以|x+y|≤,所以C正确,D错误.故选AC. (3)因为4x2+y2≥4xy,当且仅当2x=y时等号成立,所以4x2+y2+xy≥5xy,当且仅当2x=y时等号成立,则1≥5xy,即xy≤,所以(2x+y)2=4x2+4xy+y2=1+3xy≤,所以-≤2x+y≤,即2x+y的最大值为. 例3 证明:∵x,y,z都是正数,且++=1,∴x+y+z=(x+y+z)=1++++4++++9=14++++++≥14+2+2+2=14+4+6+12=36,当且仅当=,=,=,++=1, 即x=6,y=12,z=18时,等号成立,故x+y+z≥36. 变式 解:(1)若m=0,则x+9y-xy=0,∵x>0,y>0,∴+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=16,当且仅当=,即x=12,y=4时等号成立,故x+y的最小值为16. (2)若m=-16,则x+9y-xy=-16,即x+9y=xy-16, ∵x>0,y>0,∴x+9y=xy-16>0,则xy>16, 又∵x×(9y)≤,当且仅当x=9y时等号成立, ∴9xy≤,整理得(xy)2-68xy+256≥0,解得xy≥64或xy≤4(舍去),故xy的最小值为64. 例4 解:由题意,设新设备生产的产品可获得的年平均利润为y百万元,则y==t∈N*. 当0