微突破(二) 抽象函数的性质 类型一 例1 (1)B (2)(-1,3) [解析] (1)因为函数f(x)的定义域为[-5,6],所以函数f(4-3x)中的4-3x必须满足-5≤4-3x≤6,解得-≤x≤3,故函数f(4-3x)的定义域为.故选B. (2)∵函数f(2x-1)的定义域为(0,2),∴01时,0<<1,f>0,所以f(x)<0. (2)f(x)在(0,+∞)上是减函数.证明如下: 任取x1,x2∈(0,+∞)且x11,f<0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f=f(x1)-f(x1)-f=-f>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是减函数. (3)由f(x)的定义域得a>0,由f(x2+y2)≤f(a)+f(xy)得f(x2+y2)≤f(axy), 由(2)知函数f(x)是在(0,+∞)上的减函数,所以x2+y2≥axy,所以a≤对任意x,y∈(0,+∞)恒成立. 又≥=2,当且仅当x=y时等号成立,所以a≤2,所以a的取值范围是(0,2]. 变式 解:(1)已知函数f(x)满足对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-4, 令m=n=0,则f(0)=f(0)+f(0)-4,所以f(0)=4. 令m=-x,n=x,则f(-x+x)=f(-x)+f(x)-4=f(0)=4,所以f(-x)-4=-f(x)+4=-[f(x)-4],所以y=f(x)-4是奇函数. (2)f(x)在R上单调递增. 证明如下:设x1,x2∈R且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-4-f(x2)=f(x1-x2)-4,又x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>4,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增. (3)关于x的不等式f(x2)+f(-2m2-mx)>8对任意的x∈[1,3]恒成立,即关于x的不等式f(x2-2m2-mx)>4=f(0)对任意的x∈[1,3]恒成立, 由(2)可知f(x)在R上单调递增,所以对任意的x∈[1,3],x2-mx-2m2>0恒成立. 令g(x)=x2-mx-2m2,x∈[1,3], 当≤1,即m≤2时,g(x)在[1,3]上单调递增, 所以g(x)min=g(1)=1-m-2m2>0,解得-10,解得-30,则00,所以0x2>0,则>1,故f<0, 因为f(x1)=f=f(x2)+f,所以f(x1)-f(x2)=f<0, 即f(x1)0,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1), 又当x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0, 即f(x1)>f(x2),所以f(x)为减函数. 所以当x∈[-6,8]时,f( ... ...
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