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课件网) 7.3 三角函数的图象和性质 7.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正弦、余弦函数的性质 探究点一 正弦、余弦函数的奇偶性与周期性 探究点二 正弦、余弦函数图象的对称性 探究点三 正弦、余弦函数的单调性及应用 探究点四 求函数的值域 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 上的性质. 知识点一 正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期 函数 图象 _____ _____ 定义域 值域 周期 知识点二 三角函数的奇偶性 是_____； 是_____. 奇函数 偶函数 知识点三 正弦函数、余弦函数的单调性和最值 正弦函数 余弦函数 单调 性 增区间 ， _____ _____ 减区间 _ _____ ， ， 最值 _ _____ ， ， _____ __ ， ， ， ， 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）存在，使得 .( ) × （2）函数， 是奇函数.( ) × （3）函数 是偶函数.( ) × [解析] 函数的定义域为 ，不关于原点对称，因此函数 不具有奇偶性. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）函数在区间 上单调.( ) × [解析] 函数在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 探究点一 正弦、余弦函数的奇偶性与周期性 例1（1）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数， 的最 小正周期是 ，且当时，，则 的值为___. [解析] 由题意可得 . （2）判断下列函数的奇偶性. ① ； 解：， ， ， 函数 为奇函数. （2）判断下列函数的奇偶性. ② ； 解：由得，得 的定义域为 ， 的定义域关于原点对称． ③ ； 解：由得，此时， 的定义域为 ， 既是奇函数又是偶函数． 又， 为奇函数． （2）判断下列函数的奇偶性. ④ ． 解：函数的定义域为 ，且 ， 函数 是偶函数． 变式（1）若函数是偶函数，则 的最小 值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为为偶函数，所以， 又，所以 的最小值为 .故选D. √ （2）已知函数为偶函数,其中 ,则 ____. [解析] 因为函数为偶函数, 所以 , , 又 ,所以 , 故 . ［素养小结］ 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期 性,可以把
的函数值转化为
的函数值.利用奇偶性,可以 找到
与
的函数值之间的关系,从而解决求值问题. 2.推得函数周期的若干形式: （1）若
,则函数
的周期为
; （2）若
,则函数
的周期为
; （3）若
且
,则函数
的周期为
; （4）若
且
,则函数
的周期为
. 探究点二 正弦、余弦函数图象的对称性 例2（1）函数 图象的一条对称轴的方程是( ) A. B. C. D. [解析] 对于函数，令， ，可得 ，，则函数图象的对称轴方程为 ， ， 令，可得函数图象的一条对称轴的方程是 .故选C. √ （2）函数 的图象的一个对称中心为_____. （答案不唯一） [解析] 由余弦函数的图象可知，函数 的图象的对称中心 的横坐标，所以函数 的图象的一个对称 中心为 . 变式 若直线与直线是函数 图象的 两条相邻的对称轴，则的最小正周期 ( ) A. B. C. D. [解析] 依题意得函数的最小正周期 .故 选D. √ ［素养小结］ 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最 高点或最低点；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、 余弦曲线与
轴的交点. 拓展 已知函数的图象关于点 对称，方程在上有两个不同的实根， ，则 的最大值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为的图象关于点 对称，所以 ，，则， ， 又因为，所以 ，所以 . 当 时， ，作出在上的 图象与直线 ，如图所示. 由图可知，要 ... ...
