(
课件网) 7.3 三角函数的图象和性质 7.3.3 函数 第2课时 函数 的 性质 探究点一 已知图象求函数 的解析式 探究点二 的图象与性质的 综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 掌握函数 的图象与性质，并能解决有关问题. 知识点 函数 的性质 定义域 ___ 值域 _____ 最小正周 期 _ _____ 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 单调性 增区间可由_ _____得到; 减区间可由_ _____得到 对称性 对称轴方程:_ _____； 对称中心: _ _____ 续表 探究点一 已知图象求函数 的解析式 例1 函数 的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为_____. [解析] 方法一（逐一定参法）由题图知 ， ， ， 点 在函数图象上，且函数图象在点处 上升， ，得 ，， . 方法二（待定系数法）：由题图知.由图象过点和 ， 且在点处下降，在点 处上 升， 可令解得 符合题意， . 方法三（图象变换法）：由题图知 ， ，则. 由点 在图象上，可知函数图象是由的图象向左 平移 个单位长度得到的， ，即 . 变式（1）函数 的部分图象 如图所示，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 观察题中图，可得，函数 的最小正周期 ，解得，则 . 又的图象经过点，所以 ， 即，所以 , ，则 ,， 又，所以 ，则函数 .故选B. （2）［2025·江苏兴化中学高一月考］已知函数 的部分图象如图所示， 则 ____. [解析] 由题图可知，，函数 的最小正周期 ， ， . 将 代入函数解析式中可得， ，解得， ， ，， 则 . ［素养小结］ 确定函数
的解析式的难点是确定
,常把图象上一 个最高点或最低点的坐标代入（此时
,
已知）或代入图象与
轴的 交点坐标求解（此时要注意交点的横坐标是在增区间上还是在减区 间上）. 探究点二 的图象与性质的综合应用 例2 已知函数 的一个对称中心到一条对 称轴的最小距离为 . （1）求 的值； 解：由题意得，则，所以 . （2）求函数 图象的对称中心； 解：由（1）知 ， 令 ,，解得, ， 所以函数图象的对称中心为, . 例2 已知函数 的一个对称中心到一条对 称轴的最小距离为 . （3）求函数在 上的取值范围. 解：当时， ， 所以当，即时， ， 当，即时， ， 所以函数在上的取值范围为 . 变式（1）已知函数 的图象关于直 线对称，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，则 , ，即,， 又，所以 .故选A. √ （2）若函数的图象在区间 上有且仅 有2条对称轴，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由 ,，可得 图象的对称轴为,. 当时，，当 时，，当时，， 又，所以由题意得 可得 ，故选B. （3）已知函数，若方程 在区 间内没有实根，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为 ， ，所以． 因为方程 在区间内没有实根， 所以 ，解得，． 由得 ． 因为，所以或． 当时，可得 ；当时，可得 ．故选B. ［素养小结］ （1）对于函数
，当
时为奇函数，当
时为偶函数；对于函数
，当
时为偶函数，当
时为奇函数. （2）与正弦、余弦型函数有关的单调性、最值、对称性问题的求解， 可采用整体代换的思想，将
中的
看成
中的
，类比
的性质求解. （3）确定 的单调区间，通常采用 “换元法”整体代换，将 看作一个整体，令“ ”， 通过求的单调区间而求出函数 的单调区 间.若，则必须利用诱导公式先将 的系数转化为正数，再求单 调区间. 函数 的性质的综合运用 （1）函数 的性质的综合应用，往往 涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等，要充分结合函数 的性质解题.此类题考查了综合应用数学知识的能力. （2）与正弦函数比较可知，当 时 ... ...
