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课件网) 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第2课时 不等式的证明方法 探究点一 用作差法证明不等式 探究点二 用综合法证明不等式 探究点三 用反证法证明不等式 探究点四 用分析法证明不等式 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能灵活选用综合法、分析法证明简单不等式问题； 2.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的 命题. 知识点 证明不等式的方法 1.作差法 通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作 差法. 2.综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的 方法，在数学中通常称为综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 3.反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出 假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法. 4.分析法 从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的条件，进而转化 为判定那个条件是否成立.分析法又叫逆推证法或执果索因法. 探究点一 用作差法证明不等式 例1 已知，均为正实数，证明： . 证明： . 因为，均为正实数，所以， ， ，所以 ， 当且仅当时等号成立，所以 . 变式 已知,，，，且，，求证： . 证明：， 因为，且， ，所以， 又，所以，所以 ， 又，，所以，所以 . ［素养小结］ 作差法证明不等式的步骤: ①作差:对要证明的两个代数式作差; ②变形:对差进行因式分解、配方、通分等变形为一个常数、几个平 方和或者几个因式的积（或商）; ③判号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; ④得结论：注意等号是否能取到. 探究点二 用综合法证明不等式 例2 已知，且，证明： ． 证明：因为，且， 所以 ，且,所以 ， 所以，即，所以 ． 变式 已知，，为实数，求证： . 证明：因为，即， 所以 ，同理， ， 所以 . ［素养小结］ 综合法证明不等式，重点是揭示出条件和结论之间的因果联系，因 此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联 系.合理进行转换，恰当选择已知不等式是证明的关键. 探究点三 用反证法证明不等式 例3 若，求证： . 证明：方法一：假设，则 ， ，即 ， 即，这是不可能的， . 方法二：假设， ， 但取等号的条件是，显然不可能， ， 则 . 又，， ， ， ， ，这与假设矛盾，故 . 变式 ［2025·上海闵行区高一期中］ 已知命题如果实数， 为 正数，且满足，则和 中至少有一个成立. 判断命题 是否为真命题. 解：命题 为真命题，用反证法证明如下： 假设和都不成立，则且 ， 因为实数，为正数，所以且 ， 所以，即，与 矛盾， 所以假设不成立，所以和 中至少有一个成立. ［素养小结］ 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理， 导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立. 探究点四 用分析法证明不等式 例4 求证： 证明：要证 ， 只需证 ， 只需证 ，只需证 ， 只需证，即 ，显然成立， 所以 成立． 变式 已知，，用分析法证明 . 证明：要证，只需证 ， 即证，即证 ， 因为，所以 成立. ［素养小结］ （1）分析法的思路是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地 用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止. （2）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“
”或 “要证明”“只需证明”“即证明”等词语. 1.若，，，则， 的大 小关系为( ) A. B. C. D.由 的值确定 [解析] ， ， ，， 又,, ．故选A． √ 2.用反证法证明命题“设，为实数，则方程 至多有 一个实根”时，要作出的假设是( ) A.方程 没有实根 B.方程 至多有一个实根 C.方程 至多有两个实根 D.方程 恰好有 ... ...
