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课件网) 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式 探究点一 对均值不等式的理解 探究点二 利用均值不等式求最值 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握均值不等式 及其推导过程、几何 意义； 2.能运用均值不等式证明不等式和求最值. 知识点一 基本概念 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数，，数称为，的_____；数 称为 ， 的_____. 算术平均值 几何平均值 2.均值不等式 如果，都是正数，那么_____，当且仅当 时，等号成 立.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的_____ 平均值不小于它们的_____平均值. 算术 几何 3.均值不等式的一个几何意义 如果矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为， 可以 看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何 意义为所有周长一定的矩形中，_____的面积最大. 正方形 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）和成立的条件都是， . ( ) × [解析] 成立的条件是,， 成立的条件是， . 【诊断分析】 （2）若，则 .( ) [解析] 只有当时，才有不等式 成立． （3）若，，则 .( ) [解析] 因为，所以 . × √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 知识点二 均值不等式与最值 1.已知， 都是正数. （1）如果和等于定值，那么当时，积有最____值 . （2）如果积等于定值，那么当时，和 有最____值 . 大 小 2.利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需注意： （1）， 必须是_____. （2）求积的最大值时，应看和是否为_____；求和 的 最小值时，应看积 是否为_____. （3）_____成立的条件是否满足. 正数 定值 定值 等号 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个正数的积为定值，它们的平方和有最小值.( ) √ [解析] 若,,则,当且仅当 时取等号， 故该说法正确． （2）当时， .( ) [解析] 当时，，因为 ， 所以 ，故该说法正确. √ （3）当时，函数，所以 的最小值是 .( ) × [解析] 因为当时， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最小值是3. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）当时， 的最小值为2.( ) × [解析] ，当且仅当时取等号，与 矛盾， 所以该说法错误． （5）两个负数的和为定值，则它们的积有最大值.( ) √ [解析] 设，，， 为定值， 则，当且仅当 时取等号， 所以，所以 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 探究点一 对均值不等式的理解 例1（1）已知，则，， 这三个数的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 当，均是正数时，由均值不等式得 ， 当且仅当时取等号,令，得， 又 ，所以 ，故等号不能取到.故选C. √ （2）（多选题）下列式子中正确的有( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A,, ,故A错误； 对于B，当时，，当且仅当 时取等号， 当时,,当且仅当 时取等号,故B正确； 对于C,若,则 ,故C错误； 对于D,,当且仅当 时取等号, 故D正确.故选 . 变式 给出下面三个推导过程： ①若，为正实数，则 ; ②若,,则 ; ③若，， ，则 . 其中正确的为( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ √ [解析] 根据均值不等式的定义可知①正确. 对于②，当 时， ，所以②错误. 对于③，根据均值不等式的知识可知③正确. 故选B. ［素养小结］ （1）在理解均值不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件. （2）运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即
成立的条件是
，
，等号成立的条件是
；
成立的条件是
，
，等号成立的条件是
. 探究点二 利用均值不等式求最值 角度1 直接应用均值不等式求解最值 ... ...
