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课件网) 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第3课时 分段函数 探究点一 分段函数求值和解不等式问题 探究点二 分段函数的图象及应用 探究点三 分段函数的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 通过具体实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图 象,能正确地求出分段函数在某点的函数值. 知识点一 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不 同的_____，则称其为分段函数. 对应方式 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 可以表示为分段函数.( ) √ （2）分段函数各段上的函数值构成的集合的交集为 .( ) × 2.分段函数是由几个不同的函数构成的吗？ 解：不是.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间 上对应关系不同，所以分段函数是一个函数. 知识点二 取整函数 对于任意一个实数，表示不超过的最大整数， 通常称为 取整函数. 知识点三 常数函数 值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数.常数函数中所有自变 量对应的函数值都相等. 探究点一 分段函数求值和解不等式问题 例1 ［2024·安徽马鞍山高一期中］已知函数 （1）求 ； 解：因为所以 ， 所以 . （2）若，求 的取值范围. 解：由，得或或 解得或或 ， 所以的取值范围是 . 例1 ［2024·安徽马鞍山高一期中］已知函数 变式 已知函数 （1）求, 的值; 解：由题可得 , 因为 , 所以 . （2）若,求实数 的值; 解：①当时,,解得 ,不合题意; ②当时,,即,解得 或 ,又，所以 ; ③当时,,解得 ,符合题意. 综合①②③知, 或 . 变式 已知函数 （3）若,求实数 的取值范围. 解：由,得或 或可得或或 , 故实数的取值范围是 . 变式 已知函数 ［素养小结］ （1）分段函数求值的方法： ①先确定要求的值属于哪一段区间； ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止，当出现
的 形式时，应从内到外依次求值. （2）已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数 解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也 可先判断每一段上的函数值的取值范围，确定解析式后再求解. 探究点二 分段函数的图象及应用 例2 定义,设函数 ， .记函数,，且函数 在区间 上的取值范围为，则区间 的长度的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 令，即，解得 ，所以 , √ 则 的图象如图所示.易知 ， .要使函数 在区间上的取值范围为 ，则 当时,，当 时, ，所以当， 时区间 的长度取得最大值，最大值为2.故选D. 变式 作出函数的图象，并求出 的最大值． 解：当时，； 当 时， ； 当时， . 综上， 根据函数的解析式作 出图象，如图所示． 由图可知，当时， 取得最大值，最大值为2. ［素养小结］ 分段函数图象的画法： （1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意 义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象； （2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象 时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图 象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 探究点三 分段函数的实际应用 例3 如图，动点从边长为4的正方形的顶点 开始，顺次经，，绕周界运动，用表示点 的 行程，表示的面积，求函数 的解析 式并画出 的图象. 解：当点在上运动，即时， ； 当点在上运动，即时， ； 当点在上运动，即 时， . 综上可知， 其图象如图所示. 变式 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含 ），票价2元； （2）以上，每增加，票价增加1元（不足的按 计 算）. ... ...
