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课件网) 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点 探究点一 求函数的零点 探究点二 判断函数零点的个数 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.会结合函数的图象,判断方程实根的存在性及实根的个数； 2.能够从函数观点认识函数的零点与方程根的关系. 知识点一 函数的零点 一般地，如果函数在实数 处的函数值等于____， 即_____，则称 为函数 的零点. 零 【诊断分析】 （1）函数的“零点”是一个点吗？ 解：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数 的图象与 轴交点的横坐标. （2）函数有零点吗？函数 呢？ 解：函数的零点是0，函数 没有零点. 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与 轴的交点 函数的零点就是方程 的_____，也就是函数 的图象与轴的_____，即方程 有实数根 函数的图象与_____ 函数 _____. 实数根 交点的横坐标 轴有交点 有零点 探究点一 求函数的零点 例1（1）（多选题）下列函数有零点的是( ) A. B. C. D. [解析] 函数 的零点有无数多个，故A符合题意; 函数对任意不能满足方程， 因此函数 没有零点; 有解，所以函数有零点; 有解，所以函数有零点.故选 . √ √ √ （2）函数 的零点组成的集合是_____. ,3, [解析] 函数的零点即方程 的实数根. 由，解得或 ， 故函数的零点组成的集合为，3， . （3）若函数 有一个零点3，则函数 的零点是_____. 和0 [解析] 因为的零点是3，所以，即 ， 即，所以 ， 所以方程的两个根为和0，即函数的零点是 和0. 变式（1）函数 的零点是_____. ，0，4 [解析] 令，则， 解得或 或. 故函数的零点是 ,0,4. （2）若函数有一个零点是1，则 ___. 6 [解析] 有一个零点为1， 则 ， 即，所以，故 . ［素养小结］ （1）求函数
的零点就是求方程
的解，求解时注意函数 的定义域; （2）已知
是函数
的零点，则必有
. 探究点二 判断函数零点的个数 例2（1）若函数只有一个零点，则实数 的取 值集合为_ _____． [解析] ①当，即时，函数为 ，显然该函数 的图象与轴只有一个交点，即函数只有一个零点． ②当 ，即时，函数是二次函数． 函数只有一个零点， 关于 的方程 有两个相等的实数根， ， 解得. 综上所述，实数的取值集合是 ． （2）函数 的零点的个数是___. 2 [解析] 对于方程，因为 ， 所以方程有2个实数根，即函数 有2个零点. 变式 ［2025·辽宁抚顺高一期中］ 已知函数 若函数有三个零点，则 的取值范围为_____. [解析] 函数 有三个零点， 即与的图象有三个交点. 当 时， ， 当时， 在上有最大值4. 画出函数 的图象，如图所示，由图可知， . ［素养小结］ 确定函数零点个数的方法: （1）分解因式法:可转化为一元
次方程根的个数问题,一般采用分解 因式法来解决. （2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式 法来解决. （3）图象法:能够将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交 点个数问题,可用图象法解决. （4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函 数,则零点只有一个. 拓展 定义域和值域均为（常数）的函数 和 的图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A.函数有且仅有3个零点 B.函数 有且仅有3个零点 C.函数有且仅有9个零点 D.函数 有且仅有9个零点 √ [解析] 对于选项A，函数的图象与 轴有3个交点， 则由可得有3个可能的取值， 又在 上单调递减， 所以方程 有且仅有3个根，故选项A正确； 对于选项B，由题图得函数为减函数， 则由方程 可得有1个可能的取值 且，则方程 有且仅有2个 根,故选项B错误； 对于选项C，函数的图象与 轴有3个交点， 则方程 ... ...
