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课件网) 4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.会进行函数性质与图象的结合； 2.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性的求解方法； 3.会解决对数函数的综合性问题. 知识点 型函数性质的研究 1.定义域:由解得的取值范围,即为函数 的定义域. 2.值域:在函数的定义域中确定的值域,再由 的单 调性确定函数的值域. 3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据_____法则判 定,或运用单调性定义判定. 同增异减 4.奇偶性:根据奇函数、偶函数的定义判定. 5.最值:在的条件下,确定的值域,再根据确定函数 的 单调性,最后确定最值. 【诊断分析】 1.函数 的定义域是_____,值域是___,是____ （填“奇”或“偶”）函数,单调递增区间是_____. 偶 2.与同为上的增函数，且图象都过点 ，怎样区分 它们在同一坐标系内的相对位置？ 解：可以通过描点定位，也可令，对应 的值即为底数.一般地，对于底数 的对数函数，在区间内，底数越大图象越靠近 轴；对于底数 的对数函数，在区间内，底数越小图象越靠近 轴. 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 例1（1） [2024·河南商丘高一期末]已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. [解析] 由题得解得，故实数的取值范围是 .故选 C. （2）已知函数 . ①求 的定义域； 解:要使函数有意义，需，即，即，所以函数 的 定义域为 . ②判断 的单调性，并证明. 解: 是减函数.证明如下： 在内任取，，且 ， 则 . 因为，所以，所以 ，所以 ，所以 ， 即，所以函数 是减函数. 变式 已知函数在上为减函数，则实数 的取值范围 是_____. [解析] 由题知且，所以 为减函数，又函数 在上为减函数，所以函数在 上大于 零，且，即解得.故实数的取值范围是 . ［素养小结］ （1）求形如 的函数的单调区间，一定要树立定义域优先的意识， 即由 先求定义域. （2）与形如 的函数的单调性有关的两种问题及思路：①证明单调 性，利用函数单调性的定义求证；②求单调区间，借助函数的性质研究函数 和在定义域上的单调性，从而求出 的单调区间. 探究点二 与对数函数有关的复合函数的值域或最值 例2（1） 函数 的最大值为___. 0 [解析] 令.当时， , 当时，, 函数 的最大值为 . （2）已知函数 . ①若的定义域为，求实数 的取值范围； 解：若的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 当时，，这与矛盾，所以 . 当时，由题意得解得 ， 即实数的取值范围为 . ②若的值域为，求实数 的取值范围. 解：若的值域为，则 能取遍一切正数， 所以或所以 ， 即实数的取值范围为 . 变式 函数 的最小值为____. [解析] 函数的定义域是， ，则 ， 所以当时，取得最小值，最小值为 . ［素养小结］ 求与对数函数有关的函数的值域或最值时要注意:①利用对数函数的单调性;②若 是与二次函数复合的函数,要考虑二次函数的最值情况. 拓展 [2024·陕西西安交大附中高一期末] 若函数 没有 最小值，则 的取值范围是_____. [解析] 函数的图象开口向上，要使函数 没有最小值，只 需，即方程至少有1个根，则 ，解得 ，所以的取值范围是 . 探究点三 解与对数函数有关的不等式 例3 [2024·河北郑口中学高一期末] 已知函数 . （1）判断函数 的奇偶性； 解：由题意得函数的定义域为 ，关于原点对称， ， 所以函数 为奇函数. （2）判断函数 的单调性； 解： ， 易知函数在上单调递减，又在 上单调递减， 所以在 上单调递增. （3）若，求实数 的取值范围. 解：因为在 上单调递增， 所以解得 ， 故实数的取值范围是 . 变式 已知函数且 . （1）讨论函数 的定义域； 解： ... ...
