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课件网) 6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.理解两向量共线的含义,并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题； 2.知道平面向量基本定理的含义和基底的含义； 3.会用平面向量基本定理,用基底表示向量. 知识点一 共线向量基本定理 1.如果且,则存在唯一的实数 ，使得_____. 2.如果，，是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数 ，使 得_____. 知识点二 平面向量基本定理 1.如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量 ,存在唯一的 实数对，使得 _____. 平面内不共线的两个向量与组成该平面上向量的一组_____，记为{, }， 此时如果,则称为在基底{, }下的分解式. 基底 2.当,不共线时，若，则且 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若向量与共线，则一定存在实数 ，使得 .( ) × （2）一个平面内只有一组不共线的向量可作为该平面上向量的基底.( ) × （3）若，是同一平面内的两个不共线向量，则（， 为实数） 可以表示该平面内的所有向量.( ) √ （4）若，则， .( ) × 探究点一 共线向量基本定理 例1 设,是两个不共线的非零向量，记, , ，那么当实数为何值时，,, 三点共线？ 解：,, , , . ,, 三点共线, 存在实数 ,使得,即 . ,不共线,解得 故当时,,, 三点共线. 变式（1） 已知点在线段上，且,,则 ( ) C A. B.3 C. D. [解析] 点C在线段上，且 , ,,即 , .故选C. （2）在梯形中，且，点在边 上，若 ，则实数 ( ) D A. B. C. D. [解析] 设 ,则 .因为,所以, ,可得 .故选D. ［素养小结］ 共线向量基本定理包含两个方面：（1）如何判断两个向量共线；（2）两个向 量共线存在一个关系式，而且这个关系式在一定条件下是唯一的. 探究点二 用基底表示向量 例2 如图所示，四边形是以, 为邻边的平行四 边形，为对角线的交点，,, , ,试以,为一组基底表示,, . 解：因为 ， 所以 . 因为 ,所以 ， 所以 . 变式（1） [2023·黑龙江齐齐哈尔高一期中]设{, }是平面上向量的一组基 底，则下列不能作为一组基底的是( ) C A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 对于A，假设存在实数，使得，则 方程组无 解，，不共线，可以作为一组基底； 对于B，假设存在实数 ，使得，则方程组无解， ， 不共线，可以作为一组基底； 对于C， ，和共线，不能作 为一组基底； 对于D，假设存在实数 ，使得，则方程组无解， ， 不共线，可以作为一组基底.故选C. （2）（多选题）如图，,，线段 与 交于点，记, ，则( ) AD A. B. C. D. [解析] 由题得.设 ，则 ，.因为 ，所 以存在实数,使，则即 . 同理，，因为，所以存在实数 ,使得 ，则 即，所以,，故.故选 . ［素养小结］ 用基底表示向量时，首先要选择一组合适的基底；在求解过程中要合理利用平 面向量基本定理、共线向量基本定理、三角形法则、平行四边形法则等. 探究点三 平面向量基本定理的应用 例3（1） 在四边形中，，设 .若 ,则 ( ) C A. B. C. D. [解析] 设,,, , ,又, ,即 .故选C. （2）如图，在中，为线段上靠近点 的三等分 点，点在上,且，则实数 的 值为( ) D A.1 B. C. D. [解析] .因为 为线段上靠近点A的三等分点，所以,因为点在 上， 所以,B,三点共线，所以，解得 .故选D. 变式 如图，在梯形中，，，, 分 别是,的中点，与相交于点 . （1）用基底{,}表示, ； 解：由已知得，， ， . （2）若,，求 的值. 解： ， ， ， 又， . 是的中点， ， ，，即 ， ， 又,.故 . ［素养小结］ 理解平面向量的参数方程式时要注意 中的三个向量共始 点,左边向量的系数是1,右边两个向量的系数之和为1,也可以结合向量加法的平 行四边形法则进行理 ... ...
