3.1.2 椭圆的几何性质 一、椭圆的简单几何性质 椭 圆 第一定义 1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 第二定义 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（00 且 图形 范围 ─axa，─byb ─axa，─byb 椭圆位于直线和所围成的矩形框内 顶点 ， ， 对称性 中心对称 关于原点（0,0）对称 轴对称 关于轴对称 长轴长2a，短轴长2b 长轴长2a，短轴长2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(0,─c), F2 (0 ,c) 焦距 2c （其中c=） 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁。 当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 准线 x= 焦半径 椭圆上任意一点M（x0，y0）于焦点F1（或F2）的距离：r=a±x0 通径 定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 大小： 【考点一 椭圆的几何性质】 【题型一 由椭圆方程求基本量】 1．如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A．26 B．10 C．4 D．14 【变式】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）已知椭圆，则（ ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【练习】（多选）已知椭圆：，：，则（ ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【题型二 椭圆上的点到焦点的距离及最值】 （基本不等式求最值） 3．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．16 D．25 【变式】已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . （几何最值） 4．已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【变式】已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为 ． 5．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ） A．6 B．5 C．9 D．8 【变式】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【考点二 椭圆的离心率】 【归纳总结】求椭圆的离心率（或范围）的常用方法】 椭圆离心率的范围为. 已知 ，直接代入 中求解； 已知 ，用 求解； 已知的关系，转化为关于离心率 的方程（或不等式）求解， 【题型一 求椭圆的离心率】 6．若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式】已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【题型二 椭圆离心率的范围】 8．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2．性质： （设为） （1）周长问题 依据：，.（两个定义） 面积、角度问题 依据：（余弦定理） 【注释】 涉及椭圆的焦点三角形，一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 【考点三 椭圆的焦点三角形】 【题型一 焦点三角形（周长问题）】 （一点两焦点） 10．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【变式】椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（ ） A．4 B． C． D．6 （两点两焦点） 11．已知椭圆 ... ...
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