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课件网) 8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍角公式 探究点一 利用倍角公式求值 探究点二 利用倍角公式化简与证明 探究点三 应用二倍角公式求解三角函数 性质问题 【学习目标】 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导证明倍角公式； 2.掌握倍角公式及其变形,能利用公式解决简单三角函数式的求 值、化简和运算问题. 知识点一 二倍角公式 _____. _____ _____. _____. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1），中的角 是任意的，但要使 有意义，需要 .( ) √ （2）存在角 ，使得 成立．( ) √ （3）对于任意的角 ， 都不成立．( ) × （4） . ( ) √ 2.倍角公式中的“倍角”仅是指 与 吗？ 解：不是.倍角公式不仅可运用于 作为 的二倍的情况， 还可运用于 作为 的二倍， 作为的二倍， 作为 的二倍， 作为 的二倍等情况． 知识点二 二倍角公式的变形 1.公式的逆用 _____, _____, _____, _____. 2.二倍角公式的重要变形 升幂公式: _____, _____, _____, _____. 降幂公式: _____, _____. 探究点一 利用倍角公式求值 ［探索］ 不查表求值： ___. [解析] 原式 . 例1（1） [2024·山西长治上党区一中高一期中]已知 ，则 ( ) A. B.4 C. D.2 [解析] 因为，所以 ， 所以 ．故选D. √ （2）已知，且，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 由 可得， 即 ，又，所以，， 则 ，故， 因为 ，所以.又， 所以， ，则， 故 .故选C. 变式（1） [2024·福建福州五校高一期中]已知 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为， 所以 ，故 ，故选A. √ （2）[2024·湖南长沙雅礼中学高一期中]已知 ， ，则 的值为( ) A. B. C.1 D. [解析] 因为，所以. 由 ，得， 所以 ,则 ， 所以 ，故选A. √ ［素养小结］ 对于给角求值问题，一般有两种解题思路： （1）直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基 本关系式对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角的三角函数式． （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的 正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的 条件，使问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式． 探究点二 利用倍角公式化简与证明 ［探索］ 化简: . 解：原式 . 例2 求证： （1） ； 证明：左边 右边， 原等式成立． （2） . 解： ， ， 原等式成立． 变式（1） 化简： . 解：原式 . （2）求证： . 证明： . ［素养小结］ 证明与化简的原则及一般步骤： （1）化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如 果两端都比较复杂，那么就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． （2）变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、 式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量 集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 拓展 已知 ,,且 , ,求证: . 证明:由得 . 由得 . ,,,, . 由①②得,即 , 即,又, . 探究点三 应用二倍角公式求解三角函数性质问题 例3 [2023·云南玉溪一中高一月考] 设函数 . （1）求 的最小正周期和最小值； 解： ， 所以 的最小正周期为 ， 当 时，有最小值 . （2）若，求 的单调递增区间. 解：方法一： . 由 ， ， 解得 ， ， 所以的单调递增区间为 ， . 方法二：由 ， ， 解得 ， ， 所以的单调递减区间为 ， . 由 ， ， 可得 ， ， 所以的单调递增区间为 ， . 变式 [2024·山东德州高一期中] 已知 ， ， . （1）若,求 的值； 解：因为，， ， 所以，即 ， 所以 . （2）求 的单调递增区间； 解：因为， ， 所以 . 令 , ， 解得 , ， 所以的单调递增区间为， . （3）当时，求 的取值范围. 解：当时，，易知在 上单调递增， 在 上单调递减. 当时， ；当时， ... ...
