高中数学人教A版（2019）必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 一、单选题 1.（2025数学习题改编）若，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025上海交通大学附属中学期中）在实数范围内，的四次方根是（ ） A. B. C. D. 3.（2025吉林四平实验中学期末）设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（2024期中）化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 5.（2025河南驻马店期中）已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.（2024西城中学开学测试）当有意义时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.（2025西南大学附属中学期末）若，，则下列四个式子中有意义的是（ ） A. B. C. D. 8.（2025河北衡水武强街关中学月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. D. 9.（2024河北沧州部分学校月考）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.若 , ，用含 的代数式表示 ，则 _____。 11.（2025湖南长沙市一中期中）方程的解集为_____。 12.（2025山西吕梁期中）当时，化简：_____。 四、解答题 13.（2025天津南开阶段检测） （1）计算：； （2）已知，，求的值。 14.（2025教材必备知识精练） （1）求值：； （2）已知，，化简：。 15.（2025河南周口期末） （1）已知，求的值； （2）已知是的七次方根，求下列各式的值： ① ； ② 。 一、单选题 1.答案：A 解析：由题意，五次根号下化简为（奇次根式性质：）；二次根号下（）化简为（偶次根式性质：）。若两者相等，则，故。 2.答案：C 解析：四次方根为偶次根，正数的偶次根有两个，且互为相反数。 因，故的四次方根是。 3.答案：D 解析：根据指数运算规则、、（）： A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确。 4.答案：C 解析：将分子分母统一化为以为底的指数幂： 分子：； 分母：； 化简：。 5.答案：A 解析：将表达式化为以为底的指数幂，利用： ； ； 化简：。 6.答案：C 解析：先确定定义域：有意义，则。 化简二次根式（偶次根取绝对值）： （，）； （，）； 求差：。 二、多选题 7.答案：ACD 解析：根据根式有意义的条件（偶次根被开方数非负，奇次根被开方数为任意实数）： A：（为偶数，），任意次根式均有意义； B：（6为偶次根），当为奇数时，为偶数，被开方数正；当为偶数时，被开方数负，无意义； C：（为偶次根），，有意义； D：（为奇次根），任意实数均有意义。 8.答案：CD 解析：根式与分数指数幂互化规则（注意符号和定义域）： A：（时，为虚数），错误； B：（），而非（后者为负），错误； C：（），正确； D：（），正确。 9.答案：ABD 解析：逐项计算指数运算： A：，正确； B：（平方差公式：），正确； C：，错误； D：内层表达式为 然后应用立方根： 处理最外层根式（四次方根）： 整个表达式为 然后应用四次方根： 右边表达式的指数形式：，正确。 三、填空题 10.答案： 解析：因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：。 11.答案： 解析：将方程化为同底数幂（底为和）： 左边：； 右边：； 约去（），得。 12.答案： 解析：时，利用根式和绝对值性质化简： （奇次根）； （偶次根）； ； 原式：。 四、解答题 13.解： （1） 分步计算各部分： 零指数幂：（任何非零数的0次幂为1）； 负指数幂：； 根式化简：； 分母化简：； 合并计算： （2） 先将根式化为分数指数幂（，）： 分子化简： ； 分母化简： ； 整体化简（同底数幂相除，指数相减）： 代入，： 14.解： （1） 步骤一：分别化简各项 化简： 将化为分数形式，化为假分数形式，再根据指数幂运算法则和进行化简： 化简： 根据负指数幂的定义，可得，再对其分母有理化： 所以。 化简： 根据负指数幂的定义可得，再根据指数幂运算法则进行化简： 化简： 根据指数幂 ... ...
