9.4 向量应用（课件 学案 练习）高中数学 苏教版（2019）必修 第二册

9.4　向量应用 【课前预习】 知识点一 1.既有大小又有方向　三角形和平行四边形 诊断分析 解:在给出答案时还要考虑所给出的结果是否满足实际意义. 知识点二 1.a=λb　x1y2-x2y1=0 2.a·b=0　x1x2+y1y2=0 3.(|a||b|≠0) 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:建立如图所示的平面直角坐标系, 则F1=(-|F1|,0),F2=(0,-|F2|).又由已知可得G=(100sin 30°,100cos 30°)=(50,50),且G+F1+F2=0,所以(50,50)+(-|F1|,0)+(0,-|F2|)=(0,0),所以|F1|=50 N,|F2|=50 N. 变式　解:当合速度的方向垂直于河岸时,此船渡过该河的位移最小, 如图所示,水流的速度为,则||=4,船的速度为,则||=5,合速度为,合速度的大小为||, 则+=,且AB⊥AC, 设船速与合速度的夹角为θ,则sin θ==, 此时||==3,故渡河时间t==100(s),故此船渡过该河的位移最小时,需要100 s才能从此岸到达彼岸. 拓展　AB　[解析] 对于A,船的航行时间t==(h),若要船的航行时间最短,则sin θ最大,也就是说当且仅当θ=90°时,船的航行时间最短,故A正确;对于B,当船的航行距离最短时,v1+v2的方向与河岸垂直,从而cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-,故B正确;对于C,当θ=30°时,船的航行时间t==(h)=6(min),故C错误;对于D,由题意设位移分量为s1=v1t,s2=v2t,位移和为s,则s=s1+s2=v1t+v2t=(v1+v2)t,其中t==(h),又因为|v1|=20 km/h,|v2|=4 km/h,v1和v2的夹角为θ=120°, 从而|s|=|v1+v2|t=t=×=(km),故D错误.故选AB. 探究点二 例2　证明:方法一:∵∠CDA=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,∴可设=e1,=e2,则|e1|=|e2|,=2e2,=+=e1+e2, ∴=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2, 则·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC. 方法二:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1), ∴=(-1,1),=(1,1), ∴·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,∴⊥,即AC⊥BC. 变式　D　[解析] 分别取AB的中点D,BC的中点E,连接OD,OE,如图所示,则+=2,+=2,由(+)·=0,得2·=0,所以OD⊥AB,所以OD垂直平分线段AB.由(+)·=0,得2·=0,所以OE⊥BC,所以OE垂直平分线段BC,所以点O为△ABC的外心.故选D. 例3　解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).∵D为AB的中点,∴D,∴=(n,-m),=,则||=,||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)∵E为CD的中点,∴E,∴=.设F(x,0),则=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴可设=λ, 即(x,-m)=λ,则x=λ,-m=-mλ, 故λ=,x=,∴F,则=, ∴||=,即AF=. 变式　C　[解析] 如图,由题意结合中位线定理可得HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC,∴HG∥EF,HG=EF,∴四边形EFGH为平行四边形.∵=++,∴+=+=+(++)2=++++2·+2·+2·,∴+·+·+·=0,∴·(+)+·(+)=0,∴(+)·=0,即·=0,即⊥,∴BD⊥AC.又HG∥AC,∴BD⊥HG,同理由中位线定理可得HE∥BD,∴HE⊥HG,∴四边形EFGH为矩形.故选C.9.4　向量应用 1.D　[解析] 他顺风行驶时的速度的大小为|v1|+|v2|.故选D. 2.D　[解析] 由物理知识知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).故选D. 3.C　[解析] ∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.故选C. 4.B　[解析] 由|-|-|+-2|=0,可得||=|+-2|,即||=|+|,即|-|=|+|,将等式|-|=|+|两边平方,化简得·=0,∴⊥,即AB⊥AC,因此,△ABC是直角三角形,故选B. 5.A　[解析] 设每根绳子的拉力大小为T N,则根据平衡条件可得,8T·cos 30°=mg,解得T==≈1.41,所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近1.4 N.故选A. 6.A　[解析] 因为·=||·||·cos∠BOC=2cos∠BOC=-1,所以cos∠BOC=-,所以∠BOC=,所以A=.故选A. 7.C　[解析] 由=,可得·=0,所以O在∠CAB的平分线上,又由=,可得·=0,所以O在∠ACB的平分线上,则点O是△ABC的内心,故选C. 8.ABC　[解析] 对于A,若四边形ABCD为正方形,点O是正方形A ... ...