第9章 平面向量 单元素养测评卷（含解析）高中数学 苏教版（2019）必修 第二册

单元素养测评卷(一) 1.D　[解析] 由题图可得2a+b=c,且λa+b为非零向量,又λa+b与c共线,所以有且只有一个实数k,使c=k(λa+b),所以消去k得λ=2,故选D. 2.D　[解析] 因为a=(1,-2)=-(-4,8)=(4,-8),|b|=4|a|,a∥b,所以b的坐标是(-4,8)或(4,-8),结合选项可知选D. 3.D　[解析] 由题意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a-4b+4c,即d=(-2,-6),经验证,满足题意.故选D. 4.C　[解析] 根据题意,向量a=(2,3),b=(-4,7),则a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|==,|b|==,设a与b的夹角为θ,则cos θ===,则a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=××==,故选C. 5.C　[解析] 因为=-=b-a,=2,所以==(b-a),=+=a+(b-a)=b+a,又因为=4,所以==-=-b-a,所以=+=(b-a)-b-a=-a+b.故选C. 6.B　[解析] 根据向量数量积的定义可得cos===,即3+m=×,解得m=,故选B. 7.B　[解析] 设=F1,=F2,当F1与F2不共线时,如图,以OA,OB为邻边作平行四边形AOBC,连接OC,设=F,则F为F1,F2的合力.由题意,当F1,F2的夹角为90°时,|F|=|F1|,|F|=20 N,∴|F1|=10 N.当F1,F2的夹角为120°时,平行四边形AOBC为菱形,此时|F|=|F1|=10 N.故选B. 8.C　[解析] ∵·=0,,分别是与,同向的单位向量,∴∠BAC的平分线与BC垂直,∴AB=AC,∴B=C.∵·=-,∴cos(π-B)=-,则cos B=,又B∈(0,π),∴B=,∴C=,A=,∴△ABC为等腰直角三角形.故选C. 9.ACD　[解析] ∵e1,e2是平面内的一组基底,∴e1,e2不共线.2e1+e2=2,则2e1+e2和e1-e2不共线,故2e1+e2和e1-e2能构成平面内的一组基底;2e2-6e1=-2(3e1-e2),则2e2-6e1和3e1-e2共线,故3e1-e2和2e2-6e1不能构成平面内的一组基底;e1+3e2=3,则e1+3e2和e2+3e1不共线,故e1+3e2和e2+3e1能构成平面内的一组基底;易知e1和e1+e2不共线,故e1和e1+e2能构成平面内的一组基底.故选ACD. 10.BC　[解析] 由a+b=(1,-1),得|a|2+|b|2+2a·b=12+(-1)2=2,则|a+b|=,故A错误;因为a,b是单位向量,所以1+1+2a·b=2,可得a·b=0,则a⊥b,故B正确;|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=,故D错误;设a与a-b的夹角为θ,则cos θ====,又θ∈[0,π],所以θ=,即a与a-b的夹角为,故C正确.故选BC. 11.ACD　[解析] 设M为AC的中点,N为BD的中点.对于A,延长PO,交圆于E,延长OP,交圆于F, 由题意得·=-||||=-||||=-|-||+|,所以·=-|-||-(+)|=-|-||+|=-(||-||)(||+||)=-(||2-||2)=-2,为定值,故A正确;对于B,连接OM,则OM⊥AC,所以·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-(4-)=2-4,由题意得0≤≤=2,则·∈[-4,0],故B错误;对于C,若AC⊥BD,则·=·=0,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·,又·=-2,则·=-2,同理可得·=-2,故·=-4,为定值,故C正确;对于D,||2·||2=4(r2-||2)·4(r2-||2)=16(4-||2)(4-||2)≤16=4(8-2)2=144,当且仅当||=||时等号成立,所以||·||的最大值为12,故D正确.故选ACD. 12.-　[解析] 因为a=(-1,2),b=(1,t),所以a+2b=(1,2+2t),又(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=-1+2(2+2t)=0,解得t=-. 13.　[解析] 因为P是MC的中点,所以=+,又因为=2,所以=,所以=×+=+,则λ1=,λ2=,所以λ1+λ2=. 14.[5,7]　[解析] 因为·=||·||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,则∠BAC=90°.又点A,B,C均位于圆O上,所以BC为圆O的直径.而·=(+)·(+)=+·(+)+·=-1=3,则||=2,因此点P在圆心为O,半径为2的圆上.|++|=|3+++|=|3+|,当与同向时,|++|最大,最大值为3×2+1=7,当与反向时,|++|最小,最小值为3×2-1=5,故|++|的取值范围为[5,7]. 15.解:(1)由a=(1,2),得|a|=,则c=±=±, 则c=或c=. (2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=0,又|b|=,|a|=,所以2×5+3a·b-2×=0, 则a·b=-,所以cos θ===-1, 又θ∈[0,π],所以θ=π. 16.解:(1)由题意可得·=||·||·cos 120°=1×2×=-1,且=+, 所以·=·(+)=+·=4+(-1)=3. (2)由(1)可知,·=3,=+, 则||=|+|====,所以cos∠BAC===. 17.解:设木块的位 ... ...