单元素养测评卷(二) 1.C [解析] sin2α=(1-cos 2α)=×=.故选C. 2.A [解析] f(x)=sin+sin= 2sincos= 2sincos=sin. 3.D [解析] ∵α∈(0,π),cos α=-,∴sin α==, ∴sin=sin α-cos α=×+×=.故选D. 4.D [解析] cos 75°cos 45°-sin 75°sin 45°=cos(75°+45°)=cos 120°=×=-.故选D. 5.C [解析] 原式== ==. 6.C [解析] 由=2,得=2,即tan=2.故选C. 7.A [解析] ∵α,β均为锐角,∴α-∈,β+∈,∵sin=,cos=,∴cos==,sin==,∴cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=-.故选A. 8.D [解析] 在△ABC中,由两角和的正切公式变形得tan A+tan B=tan(A+B)(1- tan Atan B)=tan(180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C, ∴tan A+tan B+tan C=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=3.∵tan2B= tan Atan C,∴tan3B=3,∴tan B=,∵B∈(0°,180°),∴B=60°.故选D. 9.BC [解析] 对于A,2sin 75°cos 75°=sin 150°=,不符合题意;对于B,sin275°-cos275°=-cos 150°=,符合题意;对于C,2cos215°-1=cos 30°=,符合题意;对于D,sin275°+cos275°=1,不符合题意.故选BC. 10.AC [解析] 由题可得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=,∴sin β=-.∵β为第三象限角, ∴cos β=-,∴cos=±=±=±.故选AC. 11.ABD [解析] 对于A,若a⊥b,则a·b=cos θ+sin θ=0,所以tan θ=-,故A正确;对于B,因为sin θcos θ=sin 2θ≠,所以a与b一定不是平行向量,故B正确;对于C,因为a+b=(+cos θ,sin θ+1),所以|a+b|==,所以当θ=时,|a+b|取得最大值,最大值为3,故C错误;对于D,b在a上的投影向量为·=·a=-a,所以=-,又因为|a|=|b|,所以cos
==×=×=-,又0≤≤π,所以=,故D正确.故选ABD. 12.- [解析] 由cos θ=1-2sin2=-,得sin2=,又由<θ<3π,得<<,∴sin=-. 13. [解析] 由α∈,可得-<α-<,由sin=,可得cos==,所以cos α=cos=cos-sin=×-×=. 14. [解析] 由题意得∠CMN=α,且FD==21,MQ=MN==2.因为AC=AF+FC=+21=+21,AC=AM+MC=+MNcos α=+cos α,所以+21=+cos α,整理可得(sin αcos α+1)=21(sin α+cos α),两边平方整理得110sin22α-sin 2α-1=0,解得sin 2α=或sin 2α=-(舍去),故sin 2α=. 15.解:(1)因为β=2α,cos α+cos β=-, 所以cos α+cos 2α=-,则cos α+(2cos2α-1)=-, 即2cos2α+cos α-=0,解得cos α=或cos α=-. (2)因为β=α+,所以cos α+cos=-, 则cos α-sin α=-,即(cos α-sin α)2=,所以cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-sin 2α=, 故sin 2α=1-=. 16.解:(1)∵cos α=,sin β=,0<α<,0<β<, ∴sin α===,cos β===,则sin 2α= 2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,故sin(2α-β)=sin 2αcos β- cos 2αsin β=×-×=. (2)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π. 又∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,α+β∈(0,π),∴α+β=. 17.解:(1)f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin,∴最小正周期T==π,则f=f=2sin=2sin=-2. (2)由f(x)≥1,得sin≥, 则+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故不等式f(x)≥1的解集为,k∈Z. 18.解:(1)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α),且m⊥n, 所以cos α-sin α=0,又cos α≠0,所以tan α=, 故tan β=tan[(α+β)-α]===. (2)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α), 所以|m|==2,|n|==1, m·n=cos α-sin α.因为m与n的夹角为, 所以cos==-,即=-, 所以cos=-,又α∈(-π,0),所以α+∈, 所以α+=-,所以α=-. 19.解:(1)因为cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ, 所以cos 3θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ,所以T3(x)=4x3-3x. (2)因为cos 54°=sin 36°,所以4cos318°-3cos 18°=2sin 18° ... ... 