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课件网) 12.4 复数的三角形式 探究点一 复数三角形式的有关概念 探究点二 复数的代数形式与三角形式的 互化 探究点三 复数的乘除法运算的三角表示 探究点四 复数乘、除法运算的三角表示 的几何意义的应用 【学习目标】 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角主 值的概念. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代 数表示式和三角表示式之间的互化. 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 知识点一 复数的三角形式的相关概念 1.辐角：如图所示,以 轴的非负半轴为始边、向 量所在的射线（起点是原点）为终边的角 叫作复数的_____. 是复 数的辐角，_____也都是复数的辐角. 辐角 2.辐角主值：我们把其中适合于_____的辐角 的值叫作复数 的辐角主值,记作_____,即 . 3.两个非零的复数相等，当且仅当它们的____与_____分别相等. 模 辐角主值 4.由任意角三角函数的定义知：设复数 的 辐角为 ，则_____，其中 . , 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) √ （2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与 辐角主值唯一确定.( ) √ 知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化 1.复数的三角形式：复数可以用复数的模 和辐 角 来表示：，其中_____, __, __.称为复数的三角形式，称为复数 的代数形式. 2.复数的两种形式互化 （1）在中,_____,__, __. （2）在中,_____, _____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）是复数的三角形式,其中 的值 有无数个.( ) √ （2）在中, , .( ) × 知识点三 复数乘法和除法的三角形式及几何表示 1.复数乘法运算与除法运算的三角表示 设，，且 ，则 . . （1）复数乘法的几何意义 如图，在复平面内分别画出与复数,对应的向量 ,（假定, 均取辐角主值，其他取值不影 响讨论），然后把向量按逆时针方向旋转一个 角___得 （模仍为）,再把的模 变为原来的___倍， 2.复数乘、除法运算三角形式的几何意义 从而得到一个新的向量， 所对应的复数_____ _____即为 . （2）复数除法的几何意义 如图所示,复数, 对应的向量分别为,,把绕点 按顺时针 方向旋转角___,再把它的模变为原来的___,得到向量,表示的复 数就是 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若, ，则 ．( ) × （2）若,，则 的辐角 主值是 ．( ) √ （3）若 , ，则 ．( ) √ （4）若,，则 的辐角主 值是 ．( ) √ 探究点一 复数三角形式的有关概念 例1（1） 复数 的一个辐角是( ) A. B. C. D. [解析] 因为为复数的三角形式，所以 的一个 辐角为 ，故选A． √ （2）复数 的辐角主值是( ) A. B. C. D. [解析] ，所以其 辐角主值是 ，故选D． √ （3）下列复数的表示形式是三角形式的是( ) A. B. C. D. [解析] 根据复数的三角形式的特点可知只有 是复数的三角形式，故选D. √ ［素养小结］ 判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值，要严格按照复数的三 角表示式，对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三 角形式的定义将其转化，再进一步判断． 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化 例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： （1） ； 解：复数 对应的向量如图所示，则， ， . 因为在复平面内复数对应的点在第一象限， 所以 ， 所以 ． （2） ． 解：复数 对应的向量如图所示，则， ， ． 因为在复平面内复数 对应的点在第二象限， 所以， 所以 ． 例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并 把这些复数表示成代数形式： （1） ； 解：复数的模，一个辐角 ， 对应的向量如图所示． 所以 ． （2 ... ...
