1.4.1　充分条件与必要条件 学案（含答案）2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

数学 必修 第一册 RJA 1.4.1　充分条件与必要条件 课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 教学重点：1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性． 教学难点：充分性与必要性的判断． 核心素养：1.通过充分性、必要性的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用，提升数学运算素养． 知识点一　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点二　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [点拨]　(1)“p是q的充分条件”的理解：以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出． (2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，不一定有q. 1．(必要条件的判断)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的_____条件．(填“充分”或“必要”) 答案：必要 2．(充分条件的判断)“a>0，b>0”是“ab>0”的_____条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分 3．(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是_____． 答案：{a|a≤1} 题型一　充分条件的判断 例1　　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若A B，则A∩B＝A； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC. [解]　(1)由于Q?R，所以p q， 所以p是q的充分条件． (2)由x>1可以推出x2>1. 因此p q，所以p是q的充分条件． (3)由A B可以推出A∩B＝A. 因为p q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知， 若∠A>∠B，则BC>AC. 因此p q，所以p是q的充分条件． 【感悟提升】充分条件的三种判断方法 (1)定义法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． (3)集合转化法 设p，q对应的集合分别为A，B，若A B，则p是q的充分条件． 【跟踪训练】 1．给出下列三组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等； (3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0. 试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？ 解：(1)因为相似的三角形不一定全等， 所以pq， 所以p不是q的充分条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p q， 所以p是q的充分条件． (3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0， 即p q， 所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 例2　　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)若x＝1，则x－1＝； (3)若a是自然数，则a是正整数． [解]　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p q，所 ... ...