4.1.1 n次方根与分数指数幂 1. 了解n次方根的概念及其性质. 2. 了解根式的概念及其性质. 3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系． 活动一 n次方根 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数． 初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝记作c＝S.像S这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究． 思考1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？ 思考2 类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的 n次方根？ 思考3 类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ 活动二 根式 思考4 什么是根式？ 思考5 根式中的被开方数的范围是怎样的？ 思考6 表示an的n次方根，＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？ 例1 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) (a≤3). 活动三 利用根式的性质化简或求值 例2 化简：（）2＋＋＝ ． 在根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对当且仅当a≥0时，恒有＝（）n，若a<0，则不一定． 化简＋的结果是 ． 活动四 有限制条件的根式的化简 例3 设－30)， ＝＝a3＝a(a>0). 从以上式子中，你能总结出怎样的规律？ 思考8 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 一般地，我们规定a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1).这就是正数a的正分数指数幂的意义．由此可知，2的意义为2＝. 仿照负整数指数幂的意义，我们规定a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) . 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 思考9 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ 例4 求下列各式的值： (1) 100； (2) 8； (3) 9－； (4) . 求下列各式的值： (1) 27； (2) 25－； (3) ； (4) . 在进行求解时，首先要将比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题． 活动六 用分数指数幂表示根式 例5 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1) a2·； (2) ； (3) . 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1) a3·； (2) a2·； (3) . 1. （2024佛山三中期中）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是( ) A. ＝a(a>0) B. x－＝－(x>0) C. x－y＝(x>0，y>0) D. ＝x(x>0) 2. 若ab<0，则化简a＋b的结果是( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （多选）（2024兰州期中）若<1，化简－－3的结果可能为( ) A. 2x－10 B. 4x－6 C. －2x＋4 D. －4x－10 4. （2024江南十校联考）化简：2×3×＝ ． 5. 化简下列各式： (1) ； (2) 0.25×－4÷20－. 4.1.1 n次方根与分数指数幂 【活动方案】 思考1：如果x2＝a，那么x称为a的平方根．如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，可知正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根；一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2，0的平方根、立方根均为0. 思考2：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 思考3：当n为奇数时，正 ... ...
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