4.2.2　指数函数的图象和性质 导学案（3课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

4.2.2　指数函数的图象和性质(1) 1. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 2. 会利用指数函数的性质比较两个幂值的大小． 活动一 指数函数的图象和性质 下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 先从简单的函数y＝2x开始． 思考1 请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝2x的图象． x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 0.35 0.71 1.41 2.83 思考2 画出函数y＝的图象，并与函数y＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的图象，画出函数y＝的图象？ 思考3 选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值， 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、 公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的值域和性质吗？ 例 1　当a>0，a≠1时，函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点　　　　． 活动二　指数函数的图象与性质的应用　 例2　比较下列各组数中两个值的大小： (1) 1.52.5，1.53.2； (2) 0.5-1.2，0.5-1.5； (3) 1.50.3，0.81.2. 比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如例2的(1)、(2).当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其他数值． 比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7； (2) 0.75-0.1，0.750.1； (3) 1.012.7，0.993.5； 例3　(1) 已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2) 已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的又一常用方法． 不等式2x2－x＜4的解集为　　　　． 活动三 与指数函数有关的定义域和值域问题 例4　求下列函数的定义域和值域： (1) y＝； (2) y＝2； (3) y＝. 求指数型函数的定义域和值域的一般方法： (1) 求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型． ①由于指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同． ②对于函数y＝f(ax)（a>0，且a≠1）的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中． ③求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）. (2) 求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝af(x)（a>0，且a≠1）的函数值域时，先求得f(x)的值域（即函数t＝f(x)中t的范围），再根据y＝at的单调性，列出指数不等式（组），得出at的范围，即y＝af(x)的值域． 求下列函数的定义域和值域： (1) y＝0.3； (2) y＝3； (3) y＝. 活动四 指数函数的图象与性质的实际应用 例5　如图，某城市人口呈指数增长． (1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； (2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 1. （2025六安月考）已知指数函数f(x)＝(a－1)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. (1，＋∞) B. (2，＋∞) C. (0，1) D. (1，2) 2. 设a＝20.6，b＝21.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A. aan(a>0，a≠1)，则m>n D. 函数f(x)＝ax-2＋1(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，2) 4. （2025长沙明德中学期中）函数f(x)＝的定义域为　　　　． 5. 已知函数f(x)＝1－. (1) 证明：函数f(x)是R上的增函数； (2) ... ...