1.1.2 空间向量的数量积运算 学案设计(一) 学习目标 (1)通过类比,理解和掌握空间向量的数量积的定义、性质以及运算律. (2)掌握空间向量投影及投影向量,理解空间向量数量积的几何意义. (3)基本掌握运用空间向量数量积运算解决空间距离、夹角问题,进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想与方法. 自主预习 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则 叫做向量a,b的夹角,记作 . 图示 范围 通常规定, ≤
≤ . 当= 时,a与b垂直,记作 . 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b= . 特别地,零向量与任意向量的数量积为 . (2)由数量积的定义,可以得到: a⊥b ; a·a=|a||a|cos= . 3.投影向量 (1)在空间,向量a向向量b投影: 如图①,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a在直线l上的投影如图②. 图① 图② 图③ (3)向量a向平面β投影: 如图③,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量. 4.空间向量的数量积的运算律 (1)(λa)·b= ,λ∈R; (2)a·b= (交换律); (3)(a+b)·c= (分配律). 课堂探究 [导入新课] 为了研究滑翔运动,我们引入了空间向量的概念,并类比平面向量得到了空间向量的线性运算,即空间向量的加法、减法以及数乘运算. 思考1:由于空间向量的概念和线性运算与平面向量的概念和线性运算具有一致性,那么平面向量的数量积运算是否适用于空间向量呢 思考2:我们发现任意两个空间向量都可以转化为同一个平面内的向量,所以平面向量的数量积运算能不能推广到空间向量 你能定义空间向量的数量积吗 [讲授新课] 1.类比平面向量,给出空间向量的夹角的定义. 平面向量的夹角 空间向量的夹角 已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,规定0≤≤π. 如果=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b 2.类比平面向量,给出空间向量的数量积的运算. 平面向量的数量积 空间向量的数量积 3.在平面向量中我们学习过投影向量的概念,你能把它推广到空间向量中吗 平面向量的投影 图示 两个非零向量a,b,=a,=b,过点A和B分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1和B1,得到,称上述变换为向量a向向量b的投影,叫做向量a在向量b上的投影向量 图示 空间向量的投影向量 4.空间向量的数量积运算有哪些运算律 平面向量的数量积运算律 空间向量的数量积运算律 ①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②a·b=b·a(交换律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 思考3:空间向量数量积运算由平面向量数量积运算推广而来,与平面向量数量积运算一样,要注意它与向量的线性运算及实数乘法运算的区别.你能回答下列问题吗 (1)由a·b=0,能否得到a=0或b=0 (2)对于三个均不为零的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c吗 (3)对于三个均不为零的数a,b,c,若ab=c,则a=或b=.对于向量a,b,若a·b=k,能不能写成a=或b= (4)对于三个均不为零的数a,b,c,有(ab)c=a(bc).对于向量a,b,c,有(a·b)c=a(b·c)成立吗 【学以致用】 例1 如下图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求: (1); (2)AC'的长(精确到0.1). 例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.求证:DC1⊥BC. 核心素养专练 1.(多选题)下列各命题中,真命题是( ) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R) C.a·(b+c)=(b+c)·a D ... ... 
