29　专项突破提升(一)　与相似有关的典型应用（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(一)　与相似有关的典型应用 类型一　经典A字型相似 1．(4分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝．下列结论正确的是(　D　) A．DE∶BC＝1∶2 B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3 C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2 D．DE∥BC 2．(4分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 15 ． 解析：∵BF∥DE， ∴△ABF∽△ADE．∴＝． ∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10， ∴＝．∴BF＝2． ∴GF＝6－2＝4． ∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE． ∴＝． ∵AC＝4＋6＝10，AD＝20，DE＝10， ∴＝．∴CK＝5． ∴HK＝6－5＝1． ∴阴影部分的面积＝(HK＋GF)·GH＝×(1＋4)×6＝15． 类型二　经典X字型相似 3．(4分)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为(　C　) A． B．4 C． D．6 4．(4分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝(　D　) A． C． 5．(6分)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，连接ED，求证：△ABC∽△ADE． 证明：∵BD，CE分别是边AC，AB上的高， ∴∠BEC＝∠BDC． ∵∠BOE＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE． ∴＝．∴＝． ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE． 类型三　一线三等角型相似 6．(4分)如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AB＝2，DE＝4，BD＝6，C为线段BD上一点，连接AC，CE．若AC⊥CE，则BC的值为(　B　) A．3 B．2或4 C． D．2或3 7．(12分)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P，Q分别在射线CB，AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持∠APQ＝∠ABC． (1)若点P在线段CB上(如图)，且BP＝6，求线段CQ的长； (2)若CP＝x，CQ＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 　 解：(1)∵∠APQ＋∠CPQ＝∠B＋∠BAP，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∴△CPQ∽△BAP．∴＝． ∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8－6＝2， ∴＝．∴CQ＝． (2)分两种情况： ①若点P在线段CB上，则08． ∵∠APQ＝∠APB＋∠CPQ，∠ABC＝∠APB＋∠PAB，∠APQ＝∠ABC， ∴∠CPQ＝∠PAB． ∵∠ABP＝180°－∠ABC，∠PCQ＝180°－∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABP＝∠PCQ．∴△QCP∽△PBA． ∴＝． ∵CP＝x，BP＝CP－CB＝x－8，AB＝5，CQ＝y，∴＝，即y＝x2－x(x＞8)． 综上所述，y与x之间的函数表达式为 y＝ 类型四　旋转型相似 8．(4分)如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AB＝5，AC＝4．若△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 9．(8分)如图，若∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC．求证： (1)△ADE∽△ABC； (2)＝． 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE． ∴∠DAE＝∠BAC． 又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC． (2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝． ∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC． ∴＝． 类型五　共角子母型相似 10．(4分)如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B．若AD＝3，BD＝5，则AC的长为(　B　) A． B．2 C． D．8 11．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F．求证：＝． 证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°． 又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA． ∴＝，∠BAD＝∠C． ∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点， ∴DE＝EC＝EA．∴∠BDF＝∠CDE＝∠C． ∴∠BDF＝∠BAD． 又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF． ∴＝．∴＝． 12．(8分)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． (1)证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠B ... ...