思想方法集锦 (建议用时：90分钟 满分：126分) 方法一 方程思想 1．(4分)若函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，则m的值是( D ) A．2 B．－1或3 C．－1 D．3 解析：由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0，解得m＝3. 2．(4分)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一条直线上．若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是( A ) A．8(3－)m B．8(3＋)m C．6(3－)m D．6(3＋)m 解析：设AD＝x m. ∵AB＝16 m， ∴BD＝AB－AD＝(16－x)m. 在Rt△ADC中，∠A＝45°， ∴CD＝AD tan 45°＝x m. 在Rt△CDB中，∠B＝60°， ∴tan 60°＝＝＝， ∴x＝24－8. 经检验，x＝24－8是原方程的根， ∴CD＝24－8＝8(3－)m， ∴这棵树CD的高度是8(3－)m. 3．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若b2＝ac，则sin A的值为 ． 解析：在△ABC中，∠C＝90°， ∴c2＝a2＋b2. ∵b2＝ac，∴c2＝a2＋ac. 等式两边同时除以ac，得＝＋1. 令＝x，则＝x＋1， ∴x2＋x－1＝0， 解得x1＝，x2＝(舍去)． 经检验，x＝是原分式方程的根， ∴sin A＝＝． 4．(4分)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin ∠FBA＝ ． 解析：如图，连接AF，过点F作FG⊥AB于点G. ∵四边形CDFE是边长为1的正方形， ∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°. ∵AC＝3，BC＝4， ∴AD＝2，BE＝3， ∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝. 设BG＝x. ∵FG2＝AF2－AG2＝BF2－BG2， ∴5－(5－x)2＝10－x2，解得x＝3. ∴FG＝＝1， ∴sin ∠FBA＝＝. 5．(6分)如图，晚上小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯． (1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子； (2)如果灯杆高PO＝12 m，小亮的身高AB＝1.6 m，小亮与灯杆的距离BO＝13 m，求小亮影子的长度． 解：(1)如图，连接PA并延长交OB的延长线于点C，线段BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子． (2)∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°， ∴△CAB∽△CPO， ∴＝， ∴＝， 解得CB＝2， ∴小亮影子的长度为2 m． 6．(8分)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动———测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板的宽为AB，O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E，C在同一条直线上，DE＝1.5 m，EC＝5 m．该校学生在点D处测得电池板边缘点B处的仰角为37°，在点E处测得电池板边缘点B处的仰角为45°，此时点A，B，E在同一条直线上．求太阳能电池板的宽AB的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈≈1.41) 解：如图，过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F. 由题意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°. ∵BH⊥DC， ∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形， ∴EH＝BH，EC＝OC. ∵DE＝1.5 m，EC＝5 m， ∴OC＝EC＝5 m. ∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC， ∴四边形BHCF为矩形， ∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH， ∴∠OBF＝∠BEH＝45°， ∴△OBF为等腰直角三角形， ∴BF＝OF＝CH. 设BF＝x m，则OF＝CH＝x m， ∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m， ∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m. 在Rt△BDH中，tan ∠BDH＝， 即tan 37°＝， ∴＝，解得x＝0.5. 经检验，x＝0.5是原方程的根， ∴BF＝OF＝0.5 m. 由题易得∠OBF＝45°， ∴OB＝＝≈0.705(m)． ∵O为AB的中点， ∴AB＝2OB＝2×0.705≈1.4(m)， ∴太阳能电池板的宽AB的长度约为 1.4 m. 方法二 分类讨论思想 7．(4分)在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积为 75或25 ． 解析：如图， ... ...
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