2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试(A卷) 一。（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，延长AD交△ABC的外接圆于点P,过点 B,P作一个圆与边AC相切于点E,过点C,P作一个圆与边AB相切于点F。证明：AD,BE,CF三线共 点。（答题时请将图画在答卷纸上） 二，（本题满分40分)设m,n,k都是正整数，m≥2，且n≥k≥2，实数c1≥2≥…≥xn≥0，满足以 下两个条件： (i)xm+x呀+…十x≥1； (ii)1十x2十…+xn≤k. 证明：1十x2十…十ck≥1. 三。（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数：存在n的一个倍数N,其在十进制表示下不含 数码0，但含有1,2，·，9中每一个数码，并且对任意i∈{1,2，…，9}，可以删去N的十进制表示中的一个 数码i,使所得的数仍是n的倍数. 四。（本题满分50分）给定整数t>10000.甲乙两人玩如下的游戏，猜一个满足x(N)≤2+t+100的 正整数N,这里x(N)是N的正约数个数.规则如下： 先由甲确定一个正整数k,并告知乙。然后乙想一个满足要求的N,并且： (i)告诉甲x(N)的值： (ii)给出N的k个不同的正约数（若x(N)≤k,则乙只需给出N的所有正约数：若x(N)>k,则乙可以选 择性地给出N的k个正约数). 求最小的k,使得甲一定能猜出N. 数学试题第1页共1页 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竟赛 如试(A卷)参考答案及评分标准 说明： 1。评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分。 2。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一。（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，延长AD交 △ABC的外接圆于点P,过点B,P作一个圆与边AC相切于点E,过点C,P作一 个圆与边AB相切于点F,证明：AD,BE,CF三线共点. (答题时清将图画在答卷纸上) 证法1：如图，延长CP,AB交于点X,延长BP,AC交于点Y. 由圆幂定理知XF2=P,XC=XA·XB,结合比例性质得 AF_XM-XF_XM-√M·XB_X4 ① FBXF-XB√XA·XB-XBVXB 同理有 AE YA EC ② …20分 对△ABC及点P用塞瓦定理，得 AX BD.CY=1, XB DC YA 1
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