非对称韦达定理方法讲义（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十四节 c 1 2 6 专题:非对称韦达定理方法解读专练 2 2 2 解析:（1）由题意, 2 2 1 ,解得 a2 4,b2 3a b ,重点题型专练 c2 a2 b2 【1】详见解析 x2 y2 解析:（1）椭圆 C 的方程为: 1 . x2 y24 3 所以求椭圆 C的方程为 1 . （2）由题意知直线 l 的斜率存在设其方程为 y kx 1 ,设 4 3 （2）椭圆 C具有“过中”性质,理由如下: A x , y ,B x , y , y kx 1,1 1 2 2 3x2 2 得 4y 12 0, 椭圆的右准线方程为 x 4 ,与 x 轴交于点 H 4,0 , 8k 8 设过焦点 1,0 的直线为 l ,与椭圆 C交于 P x1, y1 ,Q x2 , y2 , 4k 2 3 x2 8kx 8 0, x1 x2 2 , x1x ,4k 3 2 4k 2 3 过 P 点作 PG 准线 x 4 ,垂足为 G 4, y1 ,连接 QG 与 x 轴交于点 E , （3）且有 x1 x2 kx1x2 ,（两根之积与和的关系） 易知直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x my 1 , y 3 l : y 3 1 x x my 1AM x 1 联立 x 2 y2 ,得 3m2 4 y2 6my 9 0 , y 1 l 2 3 BN : y 3 x 4 3 x2 则 Δ 36m2 36 3m2 4 0 , y 3 y 3 x x2 y1 2 1 3 kx1x 2 (1 3)x2 y 6m 9 x 1 y2 ,y1y2 , y 3 1 y 3 x y 3 kx x (1 3)x 3m2 4 3m2 42 1 2 1 2 1 y2 y1 y2 y1 方法一:和积转换———找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 又 kGQ ,则直线 GQ 的方程为 y yx 4 1 x 4 x ,2 2 4 （积转和）,我们可以利用前面 x1 x2 kx1x2 y x 4 y my 1 4y my y 3y y 3 kx 1 2 1 2 11x2 (1 3)x2 x1 x2 (1 3)x2 x1 (2 3)x 令 y 02 ,得 x 4 4 4 1 2 1 , 2 3 y y y y y y y 3 kx1x2 (1 3)x1 x1 x2 (1 3)x (2 3)x x 2 1 2 1 2 1 1 1 2 9m 3 （分子刚好是分母的倍数） 又 my1y2 y3m2 4 2 1 y2 , y 3 2 3 y 3 ,故点 T 的纵坐标为 3 . 所以上式 y 3 3 y y 3y 3 y 方法二:配凑半代换———对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进 my y 3y 2 1 2 1 2 2 y1 x 4 1 2 1 4 4 3 5 4 , 行消元 y2 y1 y2 y1 y2 y1 2 2 x x 8k ,x x 8 8k因为 5 1 2 4k 2 ,所以 x x 3 1 2 4k 2 3 2 4k 2 3 1 所以直线 GQ 与 x 轴交点为 E ,02 ,刚好为 H 4,0 和 1,0 的中点, y 3 y 3 x x y 3 所以椭圆 C具有“过中”性质. 故 1 2 2 1 kx x (1 3)x 1 2 2 y 3 x1 y2 3 x y 3 kx1x2 (1 3)x1 2 1 8k (1 3) 8k x (2 3) 8k ( 3 1) x 4k 2 3 4k 2 3 1 4k 2 3 1 2 3 , 8k 8k 2 (1 3)x4k 3 1 4k 2 ( 3 1)x 3 1 y 3 所以 2 3 y 3 ,故点 T 的纵坐标为 3 . y 3 x2 y2 【2】（1） 1 （2） y 1 2 2 8 4 【4 x y】（1） C : 1 ;（2）详见解析 x2 y2 4 2 解析:（1） 1 解析:（1）略 8 4 （2） A( 2,0),B(2,0),D(1,0) , y 2 y 2 AN : 2 2 y 2 y1 2 （ ）根据两点式方程 BM : x x ,联立得 由题意得, 直线 MN 可以垂直于 x 轴, 但不平行于 x 轴; 2 x x1 令 MN : x my 1;M x1, y1 ,N x2 , y2 . 2xx 1 x2 x 3x x my 1 y y 2m 1 2 1 2 2 1 2kx x 12x x2 2 m2 2 y2 2my 3 0 m 21 2 2 y y 2x 1 1 3x 2 4 2 y y 3 1 2 m2 2 2 24 2kx1x2 12x 2kx x 12x 2k 12x y y 1 4y my 3 2 1 2 2 2k 2 2 1 x 2 1 2 x1 3x2 x1 x 16k x1 2 x 2 3y y2 4x2 4x 2 1 (2) (1) : 2my y 3 y y2 2 1 2 1 2 1 2k y2 y 4y yy 1 2 48k 12x 24k 2x x 2 x 2 2 2 2 3y y 3 2 1 16k 4x2 8k 2x2 4y2 my1 3 4my 6 y y 12y 6 y 3y 1y2 12y2 1 2 2 1 2 2kx x 12x 6 y 1 2 2 2 3 2 1 3y2 y1 3y2 y1 3y2 y1 3y2 y1 x1 3x2 x 6 2 4 P 在定直线: x 4 上. 2 3 1 x y 2 【 】（ ） 1 （2）椭圆 C具有“过中”性质,理由见解析 【5】详见解析 4 3 解析:令 M x1, y1 ,N x2 , y2 ; y kx m ; y kx m 则: x2 1 2k 2 x2 4kmx 2m2 2 02 y 1 2 4km y1 x1 x2 (1) 则直线 AM2 1 的方程为 y x 2 ,令 x= 1 ,得1 2k x1 2 2 m2 1 y k x1 11 x1x2 (2) y , 1 2k 2 P x1 2 x1 2 y 1 y1 1 3y 3k x2 12 x x1 2kx1x2 2(m y 1)mx 同理可得 Q . y 1 1 x ... ...