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课件网) 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理 探究点一 已知三角形两边及其一角解三 角形 探究点二 已知三边解三角形 探究点三 判断三角形的形状 【学习目标】 1.能够借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，通过用向 量推导余弦定理，提升逻辑推理素养； 2.掌握余弦定理及其变形形式，运用余弦定理及变形求解三角形 问题，提升数学运算素养. 知识点一 余弦定理 文字语言 三角形任何一边的_____等于其他两边的_____减 去这两边与它们夹角_____的2倍 符号语言 变形形式 平方 平方和 余弦的积 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）余弦定理反映了任意三角形边角之间的关系,因此它适用于任何 三角形.( ) √ [解析] 余弦定理反映了任意三角形边角之间的关系,它适用于任何三 角形. （2）在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.( ) √ [解析] 余弦定理可以看作勾股定理的推广. （3）在中,已知 ,,,则 .( ) √ [解析] ,所以 . 知识点二 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理主要解答如下两种解三角形的问题： （1）已知三角形的两边和一个角,求_____; （2）已知三角形的三边,求_____. 三角形的第三边和其他两个角 三角形的三个角 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若，则 .( ) √ [解析] 由余弦定理得，所以 . （2）在 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) × [解析] 当已知三个元素是三个内角时，三角形不确定. （3）在中，已知两边及夹角时， 不一定唯一．( ) × [解析] 在 中，已知两边及夹角时，由余弦定理可得第三边， 三角形是唯一的. （4）若在三角形中,已知两边及一边的对角,则这样的三角形唯一确 定.( ) × [解析] 在中,已知,和,由余弦定理 , 可求出,此时 的正解的个数即为三角形的个数，并不一定唯一确定. 探究点一 已知三角形两边及其一角解三角形 例1 在中，内角,,所对的边分别为,, ,根据下列条件解 三角形. （1），， ； 解：方法一： ， . 由余弦定理得 ， .又，， 为锐角. 由正弦定理得 . 为锐角， ， . 方法二： ，由余弦定理得 ， ， . 又 ， ， . （2），， . 解：方法一：由余弦定理知 ， ，即，解得 或 . 当 时，由余弦定理得 . ， ， . 当时，由余弦定理得 , ， . 方法二：由正弦定理知 . ， 或 . 当 时， ， . 当 时， ， . 变式 在中，已知 ，，，则 ___. 3 [解析] 设的内角，，所对的边分别为，， ，结合余 弦定理，可得 ， 即，解得或（舍去），所以 ． ［素养小结］ 已知三角形两边及其一角解三角形有以下两种情况: （1）已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根 据边角关系应用正弦定理或余弦定理求解. （2）已知两边和一边的对角，有两种解法.解法一：利用余弦定理列 出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边 的长，这样可免去判断取舍的麻烦；解法二：直接运用正弦定理， 先求角再求边，需讨论. 拓展 在中,内角,,所对的边分别为,,,若 ,最大 边与最小边的边长之比为,求 的最大角. 解：由题意可知或,不妨设, ,则 . 由余弦定理得 ,即, . 由余弦定理得 , , , ,即的最大角为 . 探究点二 已知三边解三角形 ［探索］ 在前面我们所解的三角形问题中，已知条件中都至少含有 一个角，若已知三角形的三边，能否解此三角形？你能给出具体解 决方法吗？ 解：可利用余弦定理的变形形式或 或 求解. 例2 在中,内角,,所对的边分别为,,,已知, , ,求角 的大小. 解：由余弦定理得 , 又,所以 . 变式（1） 在中，内角，，的对边分别为,, ,若 ，则角 的大小为_____. [解析] 由，得 ， 所以， 由余弦定理可得 ... ...
