(
课件网) 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理 第2课时 正、余弦定理解三角形 探究点一 利用正、余弦定理解三角形 探究点二 正、余弦定理在平面几何中的 应用 探究点三 证明三角形中的恒等式 【学习目标】 能利用正、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较 为复杂的三角形问题. 知识点 三角形中边与角之间的关系 1.在中,内角,,所对的边分别为,, . （1）若,则, 为_____三角形; （2）若,则, 为_____三角形; 钝角 直角 （3）若且且 ,则 ,, , 为_____三角形. 锐角 2.射影定理 在 中, ① ___; ② ___; ③ __. 探究点一 利用正、余弦定理解三角形 例1 [2024·河南濮阳高一期末] 在中，内角，， 的对边分 别为，，，已知 . （1）求角 的大小； 解：由 及正弦定理得 ， 因为，所以 ，则 . 因为 ，所以 ，所以，所以 . （2）若的面积为，周长为18，求 的值. 解：因为,所以 ， 由余弦定理得，解得 . 变式 在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知 . （1）求 ； 解：由 及正弦定理可得 ， ， ， 则，又 ， . （2）若，，求 的面积. 解：由（1）知，又， ， ，可得 ， . ［素养小结］ （1）一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑 用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多 用正弦定理；如果以上特征不明显，则两个定理都有可能用． （2）正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往 往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质， 如内角和为 、大边对大角等． 拓展 在中，内角，，所对的边分别为，，， 的面积记为，且满足 . （1）求 ； 解：因为，所以 , 所以. 又 ,所以 . （2）若，求 的取值范围. 解：由正弦定理得，所以 ，所以 . 因为，所以，所以 ，所以 . 故的取值范围为 . 探究点二 正、余弦定理在平面几何中的应用 例2 如图，在中，内角，， 的对 边分别为，，，且 ， ． （1）求 ； 解：由，得 ， 由余弦定理得 ， 又，所以 . （2）过点作，交边于点 ，且 ，求 的长. 解：因为，所以 ， 所以 ， 又，所以 . 在 中，由正弦定理得 ， 又 ， 所以在 中， . 变式 [2024·河北武邑中学高一月考] 如图所示， 在平面四边形中， ， ，，， ． （1）求 的长； 解：在 中，由余弦定理得，所以 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 . 在 中，由余弦定理得 ，所以 ． （2）若与交于点，求 的面积． 解：由（1）可知， 为等边三角形，所以 ，. 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 . 在中，由正弦定理得 ， 即，解得 ， 所以 ． ［素养小结］ 运用正、余弦定理求解三角形时，很重要的一步是找所求的边或角 所在的三角形，若所求的边或角所属的三角形不只一个，则要选用 已知条件较多的三角形进行求解. 探究点三 证明三角形中的恒等式 例3 在中,内角,,所对的边分别为,, .求证： （1） ； 证明： . （2） . 解：由余弦定理, , 得 ， 整理得 . 由正弦定理得 . 变式 [2023·宁夏六盘山高级中学高一月考] 在中，内角 ， ，所对的边分别为，，.已知是 边上的中线，求证： . 证明：设， ，则 . 在 中，由余弦定理得. 在 中，由余弦定理得 . ， ， 整理得，即 ， 又， ， 即 . ［素养小结］ （1）证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式 上一般有：左 右、右 左或左 中 右三种. （2）利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是 把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系通过 正弦定理转化为角的关系. 拓展 [2024·长沙明德中学高一月考] 已知的内角,, 所对 的边分别为,,，且 . （1）证明： ； 证明：由题及正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ... ...
