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课件网) 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直 的判定定理 探究点一 求异面直线所成的角 探究点二 直线与平面垂直的理解 探究点三 判定（证明）直线与平面垂直 【学习目标】 1.掌握异面直线所成角的概念及算法； 2.了解直线与平面垂直的定义； 3.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直； 4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理； 5.借助直线与平面垂直的判定定理证明空间中的垂直关系，提升 直观想象素养和逻辑推理素养． 知识点一 异面直线所成的角 1.定义：一般地，如果， 是空间中的两条异面直线，过空间中任 意一点，分别作与，_____的直线，，则与 所成角 的大小，称为异面直线与 所成角的大小. 平行或重合 2.异面直线所成角 的取值范围：_____. 3.规定：空间中两条平行直线所成角的大小为 . 空间中两条直线，所成角的大小为 时，称与 垂直，记作 . 若且，则一定有 . 4.空间中两条直线所成角 的取值范围：_____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）没有公共点的两条直线一定是异面直线.( ) × （2）若两条直线垂直，则这两条直线一定相交.( ) × （3）若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.( ) × （4）垂直于同一条直线的两条直线平行.( ) × 知识点二 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 （1）文字叙述：直线与平面 内的任意直线都_____. （2）符号表示： ，_____. 垂直 （3）图形表示：如图所示. 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内 的_____垂直,则 这条直线与这个平面垂直 _____ 两条相交直线 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线 和这个平面垂直.( ) × （2）若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个 平面垂直.( ) × （3）若一条直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于 梯形的两底边所在的直线.( ) √ （4）若一条直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直 于梯形的两腰所在的直线.( ) × （5）若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线.( ) × 2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的 变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所 在的直线的夹角是否发生变化？夹角的大小为多少？ 解：由直线与平面垂直的定义知旗杆所在的直线与其影子所在的直 线的夹角不变，夹角的大小为 . 探究点一 求异面直线所成的角 ［探索］ （1）异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所 成的角时,首先将异面直线平移成相交直线,那么,定义中的点一般如何 选取呢 解：定义中的点常选取代表两异面直线的其中一条线段的端点或中 点或几何体中的某个特殊点. （2）作异面直线所成的角的关键是平移法（作空间平行线）,那么推 导直线平行的方法有哪些 解：空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、空间平行线 的传递性、比例线段等得到. 例1 [2023·上海建平中学高一月考] 如图，在三棱锥 中， ，，，分别为，的中点，求异面直线 与 所成角的大小． 解：如图，取的中点，连接， . ，分别为， 的中点， ， ， 即为与 所成的角或其补角． ，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 异面直线与所成角的大小为 . 变式 如图,在正方体中, 为侧 面 的中心,求: （1）异面直线与 所成角的大小; 解：因为 , 所以即为异面直线与 所成的角或其补角. 在中, , 所以 , 所以异面直线与所成角的大小为 . （2）异面直线与 所成角的大 ... ...
